OFDM那些事

在動筆之前，筆者百度了一下OFDM的定義。在百度百科中，找到了如下描述：

“OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing)即正交頻分複用技術，其主要思想是：將通道分成若干正交子通道，將高速資料訊號轉換成並行的低速子資料流，調製到在每個子通道上進行傳輸。正交訊號可以通過在接收端採用相關技術來分開，這樣可以減少子通道之間的相互干擾 ICI 。每個子通道上的訊號頻寬小於通道的相關頻寬，因此每個子通道上的可以看成平坦性衰落，從而可以消除符號間干擾。而且由於每個子通道的頻寬僅僅是原通道頻寬的一小部分，通道均衡變得相對容易。”

嗯，這個定義寫的很全面，這麼好的材料，不放到畢設論文的背景介紹中，實在是太可惜了。其實OFDM

的原理就是這樣，樓主的講解就到此結束吧，謝謝大家~

哎喲，哪裡丟來的臭雞蛋？還有板磚！*&%……%￥#@@！…

呵呵，跟大家開個玩笑。其實讀了上面的描述後，我們一定還有很多的疑問：什麼叫“正交子通道”？怎麼做才能“把高速資料訊號轉換成並行的低速子資料流”？為什麼“子通道上的訊號頻寬小於通道的相關頻寬時，可以消除符號間干擾”？而“相關頻寬”、“符號間干擾”又是什麼呢？

在接下來的幾篇文章中，我們就來一起探究這些問題。今天，我們先做個“熱身”。既然OFDM可以消除符號間干擾（ISI，Inter-Symbol Interference），我們就來看看什麼是符號間干擾。

想象下面的場景：一個男孩和一個女孩隔山相望。男孩要向女孩表白，喊出那攝人心魄的三個字。在他們遠處，有另一座大山，能夠將他們的喊話形成回聲。就是說，男孩喊出的話，會經過兩條路徑傳到女孩的耳朵裡，一個原聲，一個回聲。當女孩聽到男孩喊出的“我”字的時候，“我”字的迴音還在路上。然而下一時刻，當“愛”字的原音到達女孩那裡時，“我”字的迴音恰好也到了。兩個聲音同時到達，混在了一起。我們假設“我”和“愛”兩個音混在一起會形成“討”字的音（這個假設實在是太壞了）。所以這一時刻，女孩聽到的是“討”字。同樣，再下一時刻，女孩會聽到“你”字的原音和“愛”字的迴音混疊在一起的聲音，假設這次她聽到的是“厭”字。最後，女孩聽到 了“你”字的迴音，轉身就走了。

圖1 “迴音”的例子

好好的一句“我愛你”卻因為回聲的存在，被活活“翻譯”成了“我討厭你”，讓相愛變成了分手。在現實無線通訊中，“符號間干擾”就扮演著“回聲”的角色。在傳送端和接收端之間，常常存在著不止一處的反射物，發出的訊號經過這些物體的反射、折射，會經過不同的路徑到達接收端，也就是我們常說的“多徑傳播”。路徑不同，傳播的距離自然不同，訊號到達接收端的時間也就不盡相同。如果這一時刻發出的符號因為多徑，延遲到了下一時刻才到達，就會與下一時刻的符號發生混疊，造成符號無法正確解出，這就是“符號間干擾”，也叫“碼間串擾”。

通過上面簡單的例子，我們已經感性的瞭解了“回聲”干擾“原聲”的成因。而且也能直觀的感覺到，要想避免兩個聲音的干擾，男孩只要放慢喊話的速度就好了，等一個字的所有回聲都傳遞到了女孩耳朵裡，再喊出第二個。這樣一來，女孩聽到的就是“我，我…，愛，愛…，你，你…”，無非是多聽了幾個重複的字而已，不會因為出現字和字之間的干擾而造成誤會。但是，我們回看百科中OFDM

的定義，卻發現它是這麼寫的：“當訊號頻寬小於通道的相關頻寬時，可以消除符號間干擾”。我們已經找到了從時間上避免符號間干擾的方法，那麼，它和“訊號頻寬”，“相關頻寬”之間又是什麼關係呢？

不要忘了頻寬的單位是赫茲（Hz），而赫茲代表的數學含義是秒分之一（1/s）,就是一秒鐘發生的次數。所以當我們說一個訊號的頻寬是10Hz，從離散域來看，可以理解為每秒有10個取樣點，換句話說，每隔0.1秒，就會到來一個取樣符號。現在我們把頻寬的意義轉換到時間域，再來解釋碼間串擾發生的條件，就好理解許多。既然每隔0.1秒就會到來一個符號，那麼如果多徑造成的最大時延小於這0.1秒，自然不會對下一個符號形成干擾；但如果多徑時延大於了0.1秒，就會引起碼間串擾。碼間串擾發生的條件，就和多徑時延對應上了。而這0.1秒，就是碼間串擾發生的臨界條件。

圖2 “碼間串擾”的形成條件

我們不妨假設時延恰好在符號發出0.1秒後到達，這樣，時延發生的頻率，也是10Hz，而“時延的頻率（準確的說是最大時延的頻率）”就是“相關頻寬”。顯而易見，當“相關頻寬”等於“訊號頻寬”時，恰好會發生碼間串擾。如果時延很短，比如0.01秒後就到達，對應的“相關頻寬”是100Hz，大於“訊號頻寬”，碼間串擾就不會發生；如果時延很長，在符號發出後0.2秒才到達，“相關頻寬”是5Hz，小於“訊號頻寬”，碼間串擾將不可避免。

圖3 具有多徑時延的傳播環境

有了這些基本概念，我們重新考慮一下之前找到的從時域上規避碼間串擾的方法。依然假設訊號的頻寬是10Hz，這次假設有兩個反射體，分別將訊號延時0.1秒和0.2秒。我們可以設計這樣的傳送策略，即每隔0.2秒才發出一個新符號，這樣，前一個符號就不會對下一個符號造成干擾了。而且，每發出一個符號，我們可以在之後的0.1秒和0.2秒分別收到該符號的兩個副本，這不就相當於利用多徑做了一次“純天然”的分集麼？在“猶抱琵琶半遮面--MIMO通道中隱藏的祕密”中，我們提到過，如何充分利用各種資源，實現“變廢為寶”，實乃一大學問。在這裡，原本討厭的多徑又一次幫了我們的忙，“免費的”對傳送符號進行了分集處理（注，多徑帶來的分集，從本質上講，是一種“頻率分集”）。但是別忘了，天下沒有白吃的午餐，我們來仔細盤算一下享受免費“多徑分集”的背後，付出的代價是什麼。

圖4 頻率分集

為了躲避碼間串擾，並且獲得多徑分集，我們每隔0.2秒（即每0.3秒）才發出一個符號，這不就相當於把原訊號的頻寬從10Hz降到了約3.33Hz（1/0.3）麼。而相關頻寬是5Hz（1/0.2），哦，原來這種傳送策略的實質是人為的讓訊號頻寬小於相關頻寬，來避免碼間串擾的發生啊。這麼做雖然能獲得一些分集增益，但原來每秒能傳10個符號，現在只能傳不到4個，犧牲了太多的系統速率，實在有些不划算。

圖5 躲避“碼間串擾”的代價

看來，要想在充分利用資源的條件下，還獲得分集增益，碼間串擾是想躲也躲不掉了。我們只有一條路可以走，那就是“幹掉”碼間串擾！下一回，我們就來看OFDM是怎麼消除碼間串擾的。

書接上回。上一篇我們說到了“碼間串擾”，還留下了一個問題，那就是如何在不降低訊號頻寬的情況下，克服碼間串擾的影響，順便再獲得點“頻率分集”增益呢？今天我們就來聊聊這些話題。

圖1多徑傳播環境

來看圖1描述的傳播環境，假設從傳送方到接收方一共有三條傳播路徑，通道增益分別為h1，h2和h3。其中路徑2和3分別會對訊號延時1個和2個時刻。即，在第一時刻，接收方會收到經過直視徑到達的訊號X1（不考慮噪聲） ：

Y1 = h1 × X1；

第二時刻，接收方收到來自直視徑的X2和經反射徑1延時到達的X1：

Y2 = h1 × X2 + h2 × X1；

可以看到，碼間串擾已經發生。同理，在第三時刻，接收方收到的訊號是

Y3 = h1 × X3 + h2 × X2 + h3 ×X1；

以此類推。熟悉“訊號系統”的朋友一眼就看出來了，這其實就是輸入序列X=[X1，X2，X3…]與通道響應h=【h1 h2 h3 】做了一個卷積，Y = h * X。所以卷積是描述多徑傳播最漂亮的數學表達。但是卷積的表示式仍然太繁瑣，我們不妨來做一個轉換。

我們把上面描述的傳播環境想象成一個3發1收的MISO系統，那麼，上述3條多徑通道響應【h1 h2 h3 】就可以看成從3根傳送天線分別到接收天線間的直視通道響應，如圖2所示。我們設計以下的傳送策略：第一時刻，從天線1傳送符號X1，這時，接收端收到的就是：

Y1 = h1 × X1；

第二時刻，從天線2傳送X1，從天線1傳送X2，接收訊號是：

Y2 = h1 × X2 + h2 × X1；

第三時刻，從天線3傳送X1，天線2傳送X2，天線1傳送X3，我們有：

Y3 = h1 × X3 + h2 × X2 + h3 ×X1；

以此類推。很明顯，這與卷積的表示式一模一樣。現在我們把具有碼間串擾的多徑傳播環境轉換成了熟悉的多天線MISO系統，形式上比較好理解，更重要的是，我們可以使用多天線的技術來處理碼間串擾了。

圖2將多徑傳播轉換成MISO系統

在著手“幹掉”碼間串擾之前，我們先來看一個有趣的例子，幫助我們直觀的理解消除碼間串擾時，所採用的思想。

正月十五，筆者和爸爸媽媽去看燈展。這次燈展，有三盞最漂亮的大花燈並排放在最顯眼的展臺上。筆者很想去展臺上和三盞燈合影，但參觀的人實在是太多了，管理員不得不做出以下規定：所有人排成一排，按順序從入口上展臺，每盞燈前面只能站一人，照完相後，從出口依次離開，每出去一人，就進來一人。

於是，筆者就去排隊了，爸爸媽媽在臺下給筆者照相。當某一時刻，筆者走上展臺，站在第一盞燈前的時候，其他燈前的遊客還沒有離開，筆者和三盞燈的合影就有了別人在旁邊“搶鏡”。同樣，在後面兩個時刻，有人出就有人進，筆者始終無法單獨和三盞燈來一次完美的合影，甚是鬱悶。

圖3 筆者受到其他人干擾，無法和三盞燈合影

當然，這點小事難不倒筆者，我想，既然沒有辦法單獨和三盞燈合影，那麼與其身邊站著其他人，不如和自己人一起照。於是筆者把相機交給好心人，拉著爸爸媽媽一起去排隊了。這一次，雖然剛上展臺的時候，有遊客干擾，但是總有一個時刻，展臺上只有筆者和爸爸媽媽三人，我們開開心心的來了一張合影。

此時筆者玩心大發，一張合影還不滿足，筆者想分別站在三盞燈下，和爸爸媽媽來三張合影。於是筆者拉著爸爸媽媽又一次去排隊了。這次，當筆者站在第3盞燈下和爸爸媽媽完成第一張合影後，迅速從出口跑出，繞回入口，緊跟著媽媽再次登上展臺（可愛的管理員也不忍心阻止筆者的行動），這樣，筆者就在第一盞燈下，又來了一張合影；緊接著，筆者的爸爸也迅速繞回入口，跟在筆者後面再次上了展臺，就這樣，我們完成了分別在三盞燈下合影三次的願望。

圖4 筆者和父母完成了合影的願望

看完上面的例子，大家是不是已經被筆者“繞”暈了？呵呵，沒關係，我們只要知道筆者是如何“擠”掉其他人，讓臺上只有我們三人，並且如何通過“迴圈”入場，獲得三次合影機會的，就可以了。因為無線通訊中，“幹掉”碼間串擾，用的也是這兩招：

（1）把連續多個符號看成一組，一起進行處理，“擠”開碼間串擾。這樣碼間串擾就只會發生在開頭和最後的幾個符號上，中間的都是“自己人”，不受影響。

（2）通過在這一組符號的開頭或最後設定“迴圈字首”，幹掉碼間串擾。

我們把這兩招用數學語言，重新進行描述。仍然考慮開篇的傳播環境，這次我們把X1，X2，X3看成一組，並在前面加上“迴圈字首”X2，X3，形成【X2，X3，X1，X2，X3 】。然後與通道響應【h1 h2 h3】進行卷積，過程如下：

圖5 卷積過程和“燈盞”例子的類比

圖6 卷積過程的矩陣表達

我們一共能得到7個時刻的方程，但最後兩個說的是本組符號對下一組符號造成的干擾，那就留給下一組符號去解決吧。我們只看前5個時刻。很明顯，碼間串擾發生在前兩個時刻Y1，Y2（通道矩陣中0元素的位置就是干擾符號出現的位置，因為我們沒有把干擾符號寫進方程，所以該位置是0）。沒關係，受到干擾的符號我們刪掉，不要了。剩下三個時刻的方程，我們仔細一看，這不就是一個3發3收的MIMO傳輸方程麼？我們曾經把多徑傳播環境轉換成了MISO系統，現在又轉換成了MIMO系統！

圖7 得到3x3 MIMO系統的過程

說到MIMO系統，我們太熟悉了，至少，我們也花了三大篇文章詳細的解釋過了。還記得“知己知彼，百戰不殆--通道資訊的獲取和應用”中我們介紹的內容麼？MIMO系統的最佳傳輸矩陣是什麼？沒錯，是對角陣。怎樣才能獲得對角陣呢？對通道矩陣H進行SVD分解，得到H=U·S·V，其中S就是對角矩陣；接下來，就是用V的共軛轉置V*對傳送訊號進行“預編碼”，接收端在收到資料後，同樣乘以U*，這樣一來，傳送的符號就像進入了獨立平行的正交子通道，互不干擾。（對這部分內容不熟悉的朋友可以在本論壇內找到“知己知彼，百戰不殆--通道資訊的獲取和應用”。）

圖8 MIMO雜談三中提到的預編碼過程

現在我們拿到了一個等效的3x3 MIMO傳輸系統，當然也可以按照上述過程來處理它。於是，我們對通道矩陣H進行SVD分解----此時此刻，本文最大的懸念就要揭曉了----注意矩陣H的特殊結構，因為我們對傳送資料添加了迴圈字首，所以H的每一行就有一個“迴圈位移”，擁有這種“迴圈位移”結構的矩陣叫做“迴圈矩陣（Circulant Matrix）”。迴圈矩陣的一個重要特性就是：對它進行SVD分解後，得到的左酉陣U是“逆傅立葉變換矩陣”（我們用W-1來表示，即U = W-1）；而右酉陣V是“傅立葉變換矩陣”（V = W，注：一組資料乘以“傅立葉變換矩陣”，就相當於對該組資料進行了傅立葉變換，並且有W-1W= WW-1=I）！

圖9 迴圈矩陣的SVD分解

這就是說，如果我們對一組資料先進行 “逆傅立葉變換”，新增“迴圈字首”，再送入多徑通道；接收端刪除掉受干擾的“迴圈字首”後，做一個“傅立葉變換”，得到的資料就好像經過了獨立平行的正交子通道，彼此之間不受任何干擾。而整個這一套處理流程，不正是“OFDM”麼？呵呵，我們一整篇文章好像都在說MIMO，直到最後時刻才讓OFDM出場，OFDM同學一定等急了吧？

我們來梳理一下OFDM的處理流程：首先，對一組傳送符號進行“逆傅立葉變換”--相當於MIMO系統中的“預編碼”；然後，新增“迴圈字首”--為的是讓傳輸矩陣H變成“迴圈矩陣”，最後送入多徑通道；接收端捨棄受到干擾的“迴圈字首”--碼間串擾就這樣被幹掉了；再做一個“傅立葉變換”--相當於MIMO中對接收訊號乘以U*；得到的符號就像經過了互不干擾的正交子通道。

圖10 OFDM和MIMO的對比

通過這樣的類比，我們猛然發現，“原來OFDM其實也是MIMO啊”。兩者的區別在於：MIMO中，對通道H進行SVD分解，需要知道H具體內容；而在OFDM中，預編碼矩陣（即“逆傅立葉變換矩陣”）不依賴於

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