我們假設計算機執行一行基礎程式碼需要執行一次運算。

int aFunc(void) {
    printf("Hello, World!\n");      //  需要執行 1 次
    return 0;       // 需要執行 1 次
}

那麼上面這個方法需要執行 2 次運算

int aFunc(int n) {
    for(int i = 0; i<n; i++) {         // 需要執行 (n + 1) 次
        printf("Hello, World!\n");      // 需要執行 n 次
    }
    return 0;       // 需要執行 1 次
}
 

這個方法需要 (n + 1 + n + 1) = 2n + 2 次運算。

我們把 演算法需要執行的運算次數 用 輸入大小n 的函式 表示，即 T(n) 。
此時為了 估算演算法需要的執行時間 和 簡化演算法分析，我們引入時間複雜度的概念。

定義： 存在常數 c，使得當 N >= c 時 T(N) <= f(N)，表示為 T(n) = O(f(n)) 。
如圖：

當 N >= 2 的時候，f(n) = n^2 總是大於 T(n) = n + 2 的，於是我們說 f(n) 的增長速度是大於或者等於 T(n) 的，也說 f(n) 是 T(n) 的上界，可以表示為 T(n) = O(f(n))。

因為f(n) 的增長速度是大於或者等於 T(n) 的，即T(n) = O(f(n))，所以我們可以用 f(n) 的增長速度來度量 T(n) 的增長速度，所以我們說這個演算法的時間複雜度是 O(f(n))。

演算法的時間複雜度，用來度量演算法的執行時間，記作: T(n) = O(f(n))。它表示隨著 輸入大小n 的增大，演算法執行需要的時間的增長速度可以用 f(n) 來描述。

顯然如果 T(n) = n^2，那麼 T(n) = O(n^2)，T(n) = O(n^3)，T(n) = O(n^4) 都是成立的，但是因為第一個 f(n) 的增長速度與 T(n) 是最接近的，所以第一個是最好的選擇，所以我們說這個演算法的複雜度是 O(n^2) 。

那麼當我們拿到演算法的執行次數函式 T(n) 之後怎麼得到演算法的時間複雜度呢？

1. 我們知道常數項並不影響函式的增長速度，所以當 T(n) = c，c 為一個常數的時候，我們說這個演算法的時間複雜度為 O(1)；如果 T(n) 不等於一個常數項時，直接將常數項省略。

比如
第一個 Hello, World 的例子中 T(n) = 2，所以我們說那個函式(演算法)的時間複雜度為 O(1)。
T(n) = n + 29，此時時間複雜度為 O(n)。

1. 我們知道高次項對於函式的增長速度的影響是最大的。n^3 的增長速度是遠超 n^2 的，同時 n^2 的增長速度是遠超 n 的。 同時因為要求的精度不高，所以我們直接忽略低此項。

比如
T(n) = n^3 + n^2 + 29，此時時間複雜度為 O(n^3)。

1. 因為函式的階數對函式的增長速度的影響是最顯著的，所以我們忽略與最高階相乘的常數。

比如
T(n) = 3n^3，此時時間複雜度為 O(n^3)。

綜合起來：如果一個演算法的執行次數是 T(n)，那麼只保留最高次項，同時忽略最高項的係數後得到函式 f(n)，此時演算法的時間複雜度就是 O(f(n))。為了方便描述，下文稱此為 大O推導法。

由此可見，由執行次數 T(n) 得到時間複雜度並不困難，很多時候困難的是從演算法通過分析和數學運算得到 T(n)。對此，提供下列四個便利的法則，這些法則都是可以簡單推匯出來的，總結出來以便提高效率。

1. 對於一個迴圈，假設迴圈體的時間複雜度為 O(n)，迴圈次數為 m，則這個
   迴圈的時間複雜度為 O(n×m)。

void aFunc(int n) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {         // 迴圈次數為 n
        printf("Hello, World!\n");      // 迴圈體時間複雜度為 O(1)
    }
}

此時時間複雜度為 O(n × 1)，即 O(n)。

1. 對於多個迴圈，假設迴圈體的時間複雜度為 O(n)，各個迴圈的迴圈次數分別是a, b, c...，則這個迴圈的時間複雜度為 O(n×a×b×c...)。分析的時候應該由裡向外分析這些迴圈。

void aFunc(int n) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {         // 迴圈次數為 n
        for(int j = 0; j < n; j++) {       // 迴圈次數為 n
            printf("Hello, World!\n");      // 迴圈體時間複雜度為 O(1)
        }
    }
}

此時時間複雜度為 O(n × n × 1)，即 O(n^2)。

1. 對於順序執行的語句或者演算法，總的時間複雜度等於其中最大的時間複雜度。

void aFunc(int n) {
    // 第一部分時間複雜度為 O(n^2)
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            printf("Hello, World!\n");
        }
    }
    // 第二部分時間複雜度為 O(n)
    for(int j = 0; j < n; j++) {
        printf("Hello, World!\n");
    }
}

此時時間複雜度為 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

1. 對於條件判斷語句，總的時間複雜度等於其中 時間複雜度最大的路徑 的時間複雜度。

void aFunc(int n) {
    if (n >= 0) {
        // 第一條路徑時間複雜度為 O(n^2)
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                printf("輸入資料大於等於零\n");
            }
        }
    } else {
        // 第二條路徑時間複雜度為 O(n)
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            printf("輸入資料小於零\n");
        }
    }
}

此時時間複雜度為 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

時間複雜度分析的基本策略是：從內向外分析，從最深層開始分析。如果遇到函式呼叫，要深入函式進行分析。

最後，我們來練習一下

一. 基礎題
求該方法的時間複雜度

void aFunc(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            printf("Hello World\n");
        }
    }
}

參考答案：
當 i = 0 時，內迴圈執行 n 次運算，當 i = 1 時，內迴圈執行 n - 1 次運算……當 i = n - 1 時，內迴圈執行 1 次運算。
所以，執行次數 T(n) = n + (n - 1) + (n - 2)……+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2。
根據上文說的 大O推導法 可以知道，此時時間複雜度為 O(n^2)。

二. 進階題
求該方法的時間複雜度

void aFunc(int n) {
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        i *= 2;
        printf("%i\n", i);
    }
}

參考答案：
假設迴圈次數為 t，則迴圈條件滿足 2^t < n。
可以得出，執行次數t = log(2)(n)，即 T(n) = log(2)(n)，可見時間複雜度為 O(log(2)(n))，即 O(log n)。

三. 再次進階
求該方法的時間複雜度

long aFunc(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 1;
    } else {
        return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);
    }
}

參考答案：
顯然執行次數，T(0) = T(1) = 1，同時 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，這裡的 1 是其中的加法算一次執行。
顯然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一個斐波那契數列，通過歸納證明法可以證明，當 n >= 1 時 T(n) < (5/3)^n，同時當 n > 4 時 T(n) >= (3/2)^n。
所以該方法的時間複雜度可以表示為 O((5/3)^n)，簡化後為 O(2^n)。
可見這個方法所需的執行時間是以指數的速度增長的。如果大家感興趣，可以試下分別用 1，10，100 的輸入大小來測試下演算法的執行時間，相信大家會感受到時間複雜度的無窮魅力。