最小生成樹

經典演算法Kruskal演算法

int cmp(const node &c,const node &d)
{
    return c.z<d.z;
}

int find(int x)           //路徑壓縮（沒有按秩合併）的並查集
{
    if (fa[x]!=x)
       fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}

int unionn(int f1,int f2)
{
    fa[f1]=f2;
}

int doit()
{
    int i,j=0;
    int tot=0;
    for
 
 (i=1;i<=m;i++)
    {
        int r1=find(way[i].u);
        int r2=find(way[i].v);
        if (r1!=r2)
        {
            tot+=way[i].z;
            unionn(r1,r2);
            j++;
        }
        if (j==n-1) break;
    }
    return tot;
}

void Kruskal()
{
    sort(way+1,way+1+m,cmp);
    int
 
 size=doit(); 
}

這裡不得不提一句什麼叫

Kruskal重構樹

Kruskal重構樹可以拿來處理一些最小生成樹的邊權最值問題
形象的理解就是：
Kruskal連邊時並不直接合並兩個並查集
而是新建一個節點x
將兩個點所在子樹都連到x的兒子上

這樣生成的樹有一些十分優美的性質：

1.二叉樹(好吧意義不大)
2.原樹與新樹兩點間路徑上邊權(點權)的最大值相等
3.子節點的邊權小於等於父親節點(大根堆)
4.原樹中兩點之間路徑上邊權的最大值等於新樹上兩點的LCA的點權

看圖理解一下吧

看一下性質的體現：
1.不用說了
2.原樹上2—>5:2,新樹上也是
3.不用說了
4.1—>6:4
確認滿足性質

看一下Kruskal重構樹的構建：

維護一個類似並查集的東西

其中有按秩合併和路徑壓縮
據說這樣並查集的時間複雜度才有保證

樹的記錄方式：爸爸記錄法（只記錄父親）
沒有必要把樹上的邊都連起來
結點深度只要呼叫一個記憶化搜尋就好了
（程式碼還是很醜）

int cmp(const node &a,const node &b)
{
    return a.v<b.v;
}

int find(int a)  //路徑壓縮 
{
    if (fa[a]!=a) fa[a]=find(fa[a]);
    return fa[a];
}

void kruskal()
{
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    int i,o=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,size[i]=1;
    for (i=1;i<=m;i++)
    {
        int f1=find(e[i].x);
        int f2=find(e[i].y);
        if (f1!=f2)
        {
            if (size[f1]>size[f2]) swap(f1,f2);  //按秩合併 
            fa[f1]=f2;                           //並查集中的標誌節點,f1連到f2上 
            size[f2]=max(size[f2],size[f1]+1);   //size並查集的深度 
            f[f1]=f2;                            //Kruskal重構樹中的父節點 
            z[f1]=e[i].v;                        //Kruskal重構樹中的結點值（就是原樹中的邊值） 
        }
    }
}

int getdep(int bh)
{
    if (deep[bh]) return deep[bh];
    if (!f[bh]) return deep[bh]=1;
    return deep[bh]=getdep(f[bh])+1;
}

言歸正傳

為了更好地理解最小生成樹，
我們給出兩條性質：

性質一：切割性質
假定所有的邊權均不相同
設S為既非空集也非全集的V（點集）的子集，
邊e是滿足一個端點在S內，另一個端點不在S內的所有邊中權值最小的邊
則圖G的所有生成樹均包含e

性質二：迴路性質
假定所有的邊權均不同
設C是圖G中的任意迴路，邊e是C上權值最大的邊，
則圖G的所有生成樹不包含e

例1：

每對結點間的最小瓶頸路上的最大邊長

解：
求出最小生成樹之後：
一般來說，最樸素的用lca（n^2logn）
然而現在有了更好的做法：
用dfs把最小生成樹變成有根樹，同時計算f(u,v)
當新訪問一個結點的時候，考慮所有訪問過的老結點，
更新f(x,u)=max(f(x,v),w(u,v))，其中v是u的父結點
複雜度O(n^2)

次小生成樹

權值之和排在第二的生成樹

最樸素的求法：像次短路一樣，次小生成樹和最小生成樹不會完全一樣，
我們列舉最小生成樹上的邊並刪除，在剩下的邊裡做Kruskal，得到的生成樹中權值最小的就是次小生成樹
複雜度O(nmα（n,m）)

還有一種更好的方法

列舉要加入哪條新邊
在最小生成樹上加上一條邊u-v，圖上會出現一條迴路，我們需要刪除一條邊
所以刪除的邊一定在最小生成樹中u-v的路徑上，
由迴路性質得，刪除的一定是路上的一條最長邊
所以我們像例一中一樣，求出f(u,v)
剩下的部分只需要O(m)的時間（列舉所有m-n+1條邊，O(1)求出新生成樹的權值）
時間複雜度O(n^2)

有向最小生成樹

給定一個有向帶權圖G和其中一個結點u，找到一個以u為根結點，權和最小的生成樹
有向生成樹（directed spanning tree）也叫樹形圖(arborescence)
是指一個類似樹的有向圖，滿足如下條件

• 恰好有一個入度為0的結點，稱為根結點
• 其他結點的入度均為一
• 可以從根節點到達所有其他結點

朱-劉演算法

首先是預處理：
刪除自環並判斷根結點是否可以到達其他結點，如果不是，無解

演算法主過程：
首先，給所有非根結點選擇一條全最小的入邊，
如果選出來的n-1條邊構不成圈，則可以證明這些邊形成了一個最小樹形圖
否則把每個圈縮成一個點，繼續上述過程

縮圈之後，圈上的所有邊都消失了，因此在最終答案的時候需要累加上這些邊的權值
但是這樣就有一個問題：
假設演算法在某次迭代中，把圈C縮成了結點v
則下一次迭代的時候，給v選擇的入邊將與C中的入弧衝突

如圖，圈中已經有了Y—>X，如果收縮之後我們又給X選了一條入邊Z—>X
我們就要刪除Y—>X（每個非根結點只有一個入度）
這等價於把弧Z—>X減小了Y—>X的權值