關鍵字：概念, 字首表示式, 字首記法, 中綴表示式, 中綴記法, 波蘭式, 字尾表示式, 字尾記法, 逆波蘭式

它們都是對錶達式的記法，因此也被稱為字首記法、中綴記法和字尾記法。它們之間的區別在於運算子相對與運算元的位置不同：字首表示式的運算子位於與其相關的運算元之前；中綴和字尾同理。

舉例：
(3 + 4) × 5 - 6 就是中綴表示式
- × + 3 4 5 6 字首表示式
3 4 + 5 × 6 - 字尾表示式

中綴表示式（中綴記法）
中綴表示式是一種通用的算術或邏輯公式表示方法，操作符以中綴形式處於運算元的中間。中綴表示式是人們常用的算術表示方法。
雖然人的大腦很容易理解與分析中綴表示式，但對計算機來說中綴表示式卻是很複雜的，因此計算表示式的值時，通常需要先將中綴表示式轉換為字首或字尾表示式，然後再進行求值。對計算機來說，計算字首或字尾表示式的值非常簡單。

字首表示式（字首記法、波蘭式）

字首表示式的運算子位於運算元之前。

字首表示式的計算機求值：
從右至左掃描表示式，遇到數字時，將數字壓入堆疊，遇到運算子時，彈出棧頂的兩個數，用運算子對它們做相應的計算（棧頂元素 op 次頂元素），並將結果入棧；重複上述過程直到表示式最左端，最後運算得出的值即為表示式的結果。
例如字首表示式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 從右至左掃描，將6、5、4、3壓入堆疊；
(2) 遇到+運算子，因此彈出3和4（3為棧頂元素，4為次頂元素，注意與字尾表示式做比較），計算出3+4的值，得7，再將7入棧；
(3) 接下來是×運算子，因此彈出7和5，計算出7×5=35，將35入棧；
(4) 最後是-運算子，計算出35-6的值，即29，由此得出最終結果。
可以看出，用計算機計算字首表示式的值是很容易的。

將中綴表示式轉換為字首表示式：

遵循以下步驟：
(1) 初始化兩個棧：運算子棧S1和儲存中間結果的棧S2；
(2) 從右至左掃描中綴表示式；
(3) 遇到運算元時，將其壓入S2；
(4) 遇到運算子時，比較其與S1棧頂運算子的優先順序：
(4-1) 如果S1為空，或棧頂運算子為右括號“)”，則直接將此運算子入棧；
(4-2) 否則，若優先順序比棧頂運算子的較高或相等，也將運算子壓入S1；
(4-3) 否則，將S1棧頂的運算子彈出並壓入到S2中，再次轉到(4-1)與S1中新的棧頂運算子相比較；
(5) 遇到括號時：
(5-1) 如果是右括號“)”，則直接壓入S1；
(5-2) 如果是左括號“(”，則依次彈出S1棧頂的運算子，並壓入S2，直到遇到右括號為止，此時將這一對括號丟棄；
(6) 重複步驟(2)至(5)，直到表示式的最左邊；
(7) 將S1中剩餘的運算子依次彈出並壓入S2；
(8) 依次彈出S2中的元素並輸出，結果即為中綴表示式對應的字首表示式。
例如，將中綴表示式“1+((2+3)×4)-5”轉換為字首表示式的過程如下：

掃描到的元素	S2(棧底->棧頂)	S1 (棧底->棧頂)	說明
5	5	空	數字，直接入棧
-	5	-	S1為空，運算子直接入棧
)	5	- )	右括號直接入棧
4	5 4	- )	數字直接入棧
×	5 4	- ) ×	S1棧頂是右括號，直接入棧
)	5 4	- ) × )	右括號直接入棧
3	5 4 3	- ) × )	數字
+	5 4 3	- ) × ) +	S1棧頂是右括號，直接入棧
2	5 4 3 2	- ) × ) +	數字
(	5 4 3 2 +	- ) ×	左括號，彈出運算子直至遇到右括號
(	5 4 3 2 + ×	-	同上
+	5 4 3 2 + ×	- +	優先順序與-相同，入棧
1	5 4 3 2 + × 1	- +	數字
到達最左端	5 4 3 2 + × 1 + -	空	S1中剩餘的運算子

因此結果為“- + 1 × + 2 3 4 5”。

字尾表示式（字尾記法、逆波蘭式）
字尾表示式與字首表示式類似，只是運算子位於運算元之後。

字尾表示式的計算機求值：
與字首表示式類似，只是順序是從左至右：
從左至右掃描表示式，遇到數字時，將數字壓入堆疊，遇到運算子時，彈出棧頂的兩個數，用運算子對它們做相應的計算（次頂元素 op 棧頂元素），並將結果入棧；重複上述過程直到表示式最右端，最後運算得出的值即為表示式的結果。
例如字尾表示式“3 4 + 5 × 6 -”：
(1) 從左至右掃描，將3和4壓入堆疊；
(2) 遇到+運算子，因此彈出4和3（4為棧頂元素，3為次頂元素，注意與字首表示式做比較），計算出3+4的值，得7，再將7入棧；
(3) 將5入棧；
(4) 接下來是×運算子，因此彈出5和7，計算出7×5=35，將35入棧；
(5) 將6入棧；
(6) 最後是-運算子，計算出35-6的值，即29，由此得出最終結果。

將中綴表示式轉換為字尾表示式：
與轉換為字首表示式相似，遵循以下步驟：
(1) 初始化兩個棧：運算子棧S1和儲存中間結果的棧S2；
(2) 從左至右掃描中綴表示式；
(3) 遇到運算元時，將其壓入S2；
(4) 遇到運算子時，比較其與S1棧頂運算子的優先順序：
(4-1) 如果S1為空，或棧頂運算子為左括號“(”，則直接將此運算子入棧；
(4-2) 否則，若優先順序比棧頂運算子的高，也將運算子壓入S1（注意轉換為字首表示式時是優先順序較高或相同，而這裡則不包括相同的情況）；
(4-3) 否則，將S1棧頂的運算子彈出並壓入到S2中，再次轉到(4-1)與S1中新的棧頂運算子相比較；
(5) 遇到括號時：
(5-1) 如果是左括號“(”，則直接壓入S1；
(5-2) 如果是右括號“)”，則依次彈出S1棧頂的運算子，並壓入S2，直到遇到左括號為止，此時將這一對括號丟棄；
(6) 重複步驟(2)至(5)，直到表示式的最右邊；
(7) 將S1中剩餘的運算子依次彈出並壓入S2；
(8) 依次彈出S2中的元素並輸出，結果的逆序即為中綴表示式對應的字尾表示式（轉換為字首表示式時不用逆序）。

例如，將中綴表示式“1+((2+3)×4)-5”轉換為字尾表示式的過程如下：

掃描到的元素	S2(棧底->棧頂)	S1 (棧底->棧頂)	說明
1	1	空	數字，直接入棧
+	1	+	S1為空，運算子直接入棧
(	1	+ (	左括號，直接入棧
(	1	+ ( (	同上
2	1 2	+ ( (	數字
+	1 2	+ ( ( +	S1棧頂為左括號，運算子直接入棧
3	1 2 3	+ ( ( +	數字
)	1 2 3 +	+ (	右括號，彈出運算子直至遇到左括號
×	1 2 3 +	+ ( ×	S1棧頂為左括號，運算子直接入棧
4	1 2 3 + 4	+ ( ×	數字
)	1 2 3 + 4 ×	+	右括號，彈出運算子直至遇到左括號
-	1 2 3 + 4 × +	-	-與+優先順序相同，因此彈出+，再壓入-
5	1 2 3 + 4 × + 5	-	數字
到達最右端	1 2 3 + 4 × + 5 -	空	S1中剩餘的運算子

因此結果為“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序輸出）。

編寫Java程式將一箇中綴表示式轉換為字首表示式和字尾表示式，並計算表示式的值。其中的toPolishNotation()方法將中綴表示式轉換為字首表示式（波蘭式）、toReversePolishNotation()方法則用於將中綴表示式轉換為字尾表示式（逆波蘭式）：

注：
(1) 程式很長且註釋比較少，但如果將上面的理論內容弄懂之後再將程式編譯並執行起來，還是比較容易理解的。有耐心的話可以研究一下。(2) 此程式是筆者為了說明上述概念而編寫，僅做了簡單的測試，不保證其中沒有Bug，因此不要將其用於除研究之外的其他場合。

1. package qmk.simple_test;  
2. import java.util.Scanner;  
3. import java.util.Stack;  
4. /** 
5.  * Example of converting an infix-expression to 
6.  * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN). 
7.  * Written in 2011-8-25 
8.  * @author QiaoMingkui 
9.  */
10. publicclass Calculator {  
11.       publicstaticfinal String USAGE = "== usage ==\n"
12.             + "input the expressions, and then the program "
13.             + "will calculate them and show the result.\n"
14.             + "input 'bye' to exit.\n";  
15.       /** 
16.        * @param args 
17.        */
18.       publicstaticvoid main(String[] args) {  
19.             System.out.println(USAGE);  
20.             Scanner scanner = new Scanner(System.in);  
21.             String input = "";  
22.             final String CLOSE_MARK = "bye";  
23.             System.out.println("input an expression:");  
24.             input = scanner.nextLine();  
25.             while (input.length() != 0
26.                   && !CLOSE_MARK.equals((input))) {  
27.                   System.out.print("Polish Notation (PN):");  
28.                   try {  
29.                         toPolishNotation(input);  
30.                   } catch (NumberFormatException e) {  
31.                         System.out.println("\ninput error, not a number.");  
32.                   } catch (IllegalArgumentException e) {  
33.                         System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());  
34.                   } catch (Exception e) {  
35.                         System.out.println("\ninput error, invalid expression.");  
36.                   }  
37.                   System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):");  
38.                   try {  
39.                         toReversePolishNotation(input);  
40.                   } catch (NumberFormatException e) {  
41.                         System.out.println("\ninput error, not a number.");  
42.                   } catch (IllegalArgumentException e) {  
43.                         System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());  
44.                   } catch (Exception e) {  
45.                         System.out.println("\ninput error, invalid expression.");  
46.                   }  
47.                   System.out.println("input a new expression:");  
48.                   input = scanner.nextLine();  
49.             }  
50.             System.out.println("program exits");  
51.       }  
52.       /** 
53.        * parse the expression , and calculate it. 
54.        * @param input 
55.        * @throws IllegalArgumentException 
56.        * @throws NumberFormatException 
57.        */
58.       privatestaticvoid toPolishNotation(String input)  
59.                   throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {  
60.             int len = input.length();  
61.             char c, tempChar;  
62.             Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();  
63.             Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();  
64.             Stack<Object> expression = new Stack<Object>();  
65.             double number;  
66.             int lastIndex = -1;  
67.             for (int i=len-1; i>=0; --i) {  
68.                   c = input.charAt(i);  
69.                   if (Character.isDigit(c)) {  
70.                         lastIndex = readDoubleReverse(input, i);  
71.                         number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1));  
72.                         s2.push(number);  
73.                         i = lastIndex;  
74.                         if

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