Hall定理（二分圖匹配問題，Hungary演算法基礎）
阿新 • • 發佈：2019-01-05
前言
hall定理是判定二分圖是否存在完全匹配的定理。
完全匹配：是指最大匹配數為min(|X|,|Y|) 也就是X或Y集合其中一個集合所有點都被匹配了。
定理內容
設二分圖中G=<V1,V2,E>中 |V1|=m<=|V2|=n,G中存在從V1到V2的完全匹配當且僅當V1中任意k(k=1,2,...,m)個頂點至少與V2中k個頂點是相鄰的。
證明
必要性
因為是完全匹配，所以V1中任意k個點都是匹配的，顯然至少與V2中k個點是相鄰的。
充分性
反證法。設G中不存在完全匹配，取G的一個最大匹配M，則V1中至少有一個點不在M上，且該點必至少與一條不在M中的邊相連，該邊的另一個頂點若也為M-非飽和點，則與M為最大匹配矛盾，若另一個頂點為M-飽和點，則考察在M中與該頂點相鄰的點，利用飽和點去考察在M中相鄰的飽和點（交錯地考察，即交錯地通過M中的邊和非M中的邊），直至考察完畢，由相異性條件知，最後必考察至非飽和點，此時出現一條增廣路 ，又與假設矛盾（M不是最大匹配），故充分性成立。
Hall定理的一個推論
設二分圖中G=<V1,V2,E>中|V1|=m<=|V2|=n，V1中每個頂點至少關聯正整數t條邊，V2中每個頂點至多關聯t條邊（t條件），則G存在從V1到V2的完全匹配。
證明：因V1中任意k個頂點至少關聯kt條邊（kt條邊至少關聯V2中的k條邊），故V1中任意k(k=1,2,...,m)個頂點至少與V2中k個頂點相鄰，即得到相異性條件，得證。