分析： 這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數為 u 3 ，……根據題意，“這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子”，則有 u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，…… 根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式： u n = u( n － 1 )× 2 (n ≥ 2) 對應 u n 和 u( n － 1 )，定義兩個迭代變數 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關係： y=x*2 x=y 讓計算機對這個迭代關係重複執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。參考程式如下： cls x=1 for i=2 to 12 y=x*2 x=y next i print y end 例 2 ： 阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鐘。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內， 45 分鐘後容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 220,220個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴？請程式設計序算出。 分析： 根據題意，阿米巴每 3 分鐘分裂一次，那麼從開始的時候將阿米巴放入容器裡面，到 45 分鐘後充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以裝阿米巴2^ 20 個”，即阿米巴分裂 15 次以後得到的個數是 2^20 。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之後的 2^20 個，倒推出第 15 次分裂之前（即第
14 次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第 13 次分裂之後、第 12 次分裂之後、……第 1 次分裂之前的個數。 設第 1 次分裂之前的個數為 x 0 、第 1 次分裂之後的個數為 x 1 、第 2 次分裂之後的個數為 x 2 、……第 15 次分裂之後的個數為 x 15 ，則有 x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1) 因為第 15 次分裂之後的個數 x 15 是已知的，如果定義迭代變數為 x ，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式： x=x/2 （ x 的初值為第 15 次分裂之後的個數 2^20 ） 讓這個迭代公式重複執行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的迴圈來實現對迭代過程的控制。參考程式如下： cls x=2^20 for i=1 to 15 x=x/2 next i print x endps:java中冪的演算法是Math.pow(2,
20)；返回double，稍微注意一下 例 3 ： 驗證谷角猜想。日本數學家谷角靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對於任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則將其除以 2 ；若 n 為奇數，則將其乘以 3 ，然後再加 1 。如此經過有限次運算後，總可以得到自然數 1 。人們把谷角靜夫的這一發現叫做“谷角猜想”。 要求：編寫一個程式，由鍵盤輸入一個自然數 n ，把 n 經過有限次運算後，最終變成自然數 1 的全過程打印出來。 分析： 定義迭代變數為 n ，按照谷角猜想的內容，可以得到兩種情況下的迭代關係式：當 n 為偶數時， n=n/2 ；當 n 為奇數時， n=n*3+1 。用 QBASIC 語言把它描述出來就是： if n 為偶數 then n=n/2 else n=n*3+1 end if 這就是需要計算機重複執行的迭代過程。這個迭代過程需要重複執行多少次，才能使迭代變數 n 最終變成自然數 1 ，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數 n ，只要經過有限次運算後，能夠得到自然數 1 ，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束迭代過程的條件可以定義為： n=1
。參考程式如下： cls input "Please input n=";n do until n=1 if n mod 2=0 then rem 如果 n 為偶數，則呼叫迭代公式 n=n/2 n=n/2 print "—";n; else n=n*3+1 print "—";n; end if loop end 迭代法開平方： #include<stdio.h> #include<math.h> void main() { double a,x0,x1; printf("Input a:\n"); scanf("%lf",&a);//為什麼在VC6.0中不能寫成“scanf("%f",&a);”？ if(a<0) printf("Error!\n"); else { x0=a/2; x1=(x0+a/x0)/2; do { x0=x1; x1=(x0+a/x0)/2; }while(fabs(x0-x1)>=1e-6); } printf("Result:\n"); printf("sqrt(%g)=%g\n",a,x1); } 求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0)。 演算法：1.先自定一個初值x0，作為a的平方根值，在我們的程式中取a/2作為a的初值；利用迭代公式求出一個x1。此值與真正的a的平方根值相比，誤差很大。 2.把新求得的x1代入x0中，準備用此新的x0再去求出一個新的x1. 3.利用迭代公式再求出一個新的x1的值，也就是用新的x0又求出一個新的平方根值x1，此值將更趨近於真正的平方根值。 4.比較前後兩次求得的平方根值x0和x1，如果它們的差值小於我們指定的值，即達到我們要求的精度，則認為x1就是a的平方根值，去執行步驟5；否則執行步驟2，即迴圈進行迭代。 迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的演算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法匯出等價的形式x=g(x)，然後按以下步驟執行： （1） 選一個方程的近似根，賦給變數x0； （2） 將x0的值保存於變數x1，然後計算g(x1)，並將結果存於變數x0； （3） 當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重複步驟（2）的計算。 若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述演算法用C程式的形式表示為： 【演算法】迭代法求方程的根 { x0=初始近似根； do { x1=x0； x0=g(x1)； /*按特定的方程計算新的近似根*/ } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)； printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)； } 迭代演算法也常用於求方程組的根，令 X=（x0，x1，…，xn-1） 設方程組為： xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1) 則求方程組根的迭代演算法可描述如下： 【演算法】迭代法求方程組的根 { for (i=0;i x=初始近似根; do { for (i=0;i y=x; for (i=0;i x=gi(X); for (delta=0.0,i=0;i if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)； } while (delta>Epsilon)； for (i=0;i printf(“變數x[%d]的近似根是 %f”，I，x)； printf(“\n”)； } 具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況： （1） 如果方程無解，演算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死迴圈，因此在使用迭代演算法前應先考察方程是否有解，並在程式中對迭代的次數給予限制； （2） 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。
