完全數（Perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函式），恰好等於它本身。如果一個數恰好等於它的因子之和，則稱該數為“完全數”。
尋找完美的數
題目描述：所謂完美的數是這個數除了它自身之外，所有因子的和等於該數。
例如： 28，其因子包括：1，2，4，7，14，28，除了28之外，1+2+4+7+14 = 28
再例如：6，其因子包括：1，2，3，6 除了6之外，1+2+3 = 6
尋找 1~10000之間的完美的數。

法一程式程式碼如下：

#include<stdio.h>
int fun_perfect(int number)
{
	int i,sum=0;
	for(i=1;i<number;i++)
	{
		if(number%i==0){
			sum+=i;
		}
		if(sum>number)
		return 0;
	}
	return sum==number;
}
int main()
{
	int i; 
	for(i=2;i<10000;i++)
	{
		if(fun_perfect(i))
		printf("%d\n",i);
	}
	return 0;
}
 

很明顯，此法較為暴力，當搜尋範圍較小時，執行的效率可以被接受，但倘若所搜尋的範圍高達十幾萬，此法執行效率較低需十幾秒。

法二：優化暴力搜尋程式程式碼如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int fun_perfect(int number)
{
	int i,sum=1;
	for(i=2;i*i<number;i++)
	{
		if(number%i==0)
		{
			sum+=i;
			if(i*i!=number)
			{
				sum+=number/i;
			}
		}
	}
	return sum==number;
}
int main()
{
	int i; 
	for(i=2;i<100000;i++)
	{
		if(fun_perfect(i))
		printf("%d\n",i);
	}
	return 0;
}
 

法三：利用推導公式：
大數學家尤拉曾推算出完全數的獲得公式：如果p是質數，且2^{p-1也是質數，那麼（2}p-1）X2^（p-1）便是一個完全數。
例如p=2，是一個質數，2^{p-1=3也是質數，（2}p-1）X2^（p-1）=3X2=6，是完全數。
例如p=3，是一個質數，2^{p-1=7也是質數，（2}p-1）X2^（p-1）=7X4=28，是完全數。
例如p=5，是一個質數，2^{p-1=31也是質數，（2}p-1）X2^（p-1）=31X16=496是完全數。
但是2^{p-1什麼條件下才是質數呢?事實上，當2}p-1是質數的時候，稱其為梅森素數。到2013年2月6日為止，人類只發現了48個梅森素數，較小的有3、7、31、127等。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	int arr[5]={2,3,5,7,11};
	for(int i=0;i<5;i++)
	{
		int num=pow(2,arr[i]-1)*(pow(2,arr[i])-1);
		if(num<100000){
			printf("%d\n",num);
		}
	}
	return 0;
}