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[數論] Miller_Rabbin演算法判斷大素數,Pollard_rho演算法進行質因素分解

講解轉載於:http://www.cnblogs.com/rainydays/archive/2011/09/01/2162049.html   http://blog.sina.com.cn/s/blog_86a9d97201015cj7.html

Miller-rabin

Miller-rabin演算法是一個用來快速判斷一個正整數是否為素數的演算法。它利用了費馬小定理,即:如果p是質數,且a,p互質,那麼a^(p-1) mod p恆等於1。也就是對於所有小於p的正整數a來說都應該複合a^(p-1) mod p恆等於1。那麼根據逆否命題,對於一個p,我們只要舉出一個a(a<p)不符合這個恆等式,則可判定p不是素數。Miller-rabin演算法就是多次用不同的a來嘗試p是否為素數。

但是每次嘗試過程中還做了一個優化操作,以提高用少量的a檢測出p不是素數的概率。這個優化叫做二次探測。它是根據一個定理:如果p是一個素數,那麼對於x(0<x<p),若x^2 mod p 等於1,則x=1或p-1。逆否命題:如果對於x(0<x<p),若x^2 mod p 不等於1,則p不是素數。根據這個定理,我們要計算a^(p-1) mod p是否等於1時,可以這樣計算,設p-1=(2^t) * k。我們從a^k開始,不斷將其平方直到得到a^(p-1),一旦發現某次平方後mod p等於1了,那麼說明符合了二次探測定理的逆否命題使用條件,立即檢查x是否等於1或p-1,如果不是則可直接判定p為合數。

pollard-rho

這是一個用來快速對整數進行質因數分解的演算法,需要與Miller-rabin共同使用。求n的質因子的基本過程是,先判斷n是否為素數,如果不是則按照一個偽隨機數生成過程來生成隨機數序列,對於每個生成的隨機數判斷與n是否互質,如果互質則嘗試下一個隨機數。如果不互質則將其公因子記作p,遞迴求解p和n/p的因子。如果n是素數則直接返回n為其素因子。

至於這個隨機數序列是如何生成的暫時還不能理解,而且也是有多種不同的方式。這個序列生成過程中會產生迴圈,遇到迴圈則立即退出。

Pollard rho演算法的原理就是通過某種方法得到兩個整數a和b,而待分解的大整數為n,計算p=gcd(a-b,n),直到p不為1,或者a,b出現迴圈為止。然後再判斷p是否為n,如果p=n成立,那麼返回n是一個質數,否則返回p是n的一個因子,那麼我們又可以遞迴的計算Pollard(p)和Pollard(n/p),這樣,我們就可以求出n的所有質因子。
    具體操作中,我們通常使用函式x2=x1*x1+c來計算逐步迭代計算a和b的值,實踐中,通常取c為1,即b=a*a+1,在下一次計算中,將b的值賦給a,再次使用上式來計算新的b的值,當a,b出現迴圈時,即可退出進行判斷。
    在實際計算中,a和b的值最終肯定一出現一個迴圈,而將這些值用光滑的曲線連線起來的話,可以近似的看成是一個ρ型的。
    對於Pollard rho,它可以在O(sqrt(p))的時間複雜度內找到n的一個小因子p,可見效率還是可以的,但是對於一個因子很少、因子值很大的大整數n來說,Pollard rho演算法的效率仍然不是很好,那麼,我們還得尋找更加的方法了。

Miller-rabin演算法用到了二次探測,因為有些數稱為Carmichael數,它滿足費馬小定理,但不是素數。

模板:POJ  1811

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <time.h>
#include <iomanip>
#include <cctype>
using namespace std;

/**
Miller_Rabin 演算法進行素數測試
快速判斷一個<2^63的數是不是素數,主要是根據費馬小定理
*/
#define ll long long
const int S=8; ///隨機化演算法判定次數

///計算ret=(a*b)%c  a,b,c<2^63
ll mult_mod(ll a,ll b,ll c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    ll ret=0;
    ll temp=a;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ret+=temp;
            if(ret>c)
                ret-=c;//直接取模慢很多
        }
        temp<<=1;
        if(temp>c)
            temp-=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

///計算ret=(a^n)%mod
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod)
{
    ll ret=1;
    ll temp=a%mod;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ret=mult_mod(ret,temp,mod);
        temp=mult_mod(temp,temp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

///通過費馬小定理 a^(n-1)=1(mod n)來判斷n是否為素數
///中間使用了二次判斷,令n-1=x*2^t
///是合數返回true,不一定是合數返回false
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
    ll ret=pow_mod(a,x,n);
    ll last=ret;//記錄上一次的x
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1)
            return true;//二次判斷為是合數
        last=ret;
    }
    if(ret!=1)
        return true;//是合數,費馬小定理
    return false;
}


///Miller_Rabbin演算法
///是素數返回true(可能是偽素數),否則返回false
bool Miller_Rabbin(ll n)
{
    if(n<2) return false;
    if(n==2) return true;
    if((n&1)==0) return false;//偶數
    ll x=n-1;
    ll t=0;
    while((x&1)==0)
    {
        x>>=1;
        t++;
    }
    srand(time(NULL));
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        ll a=rand()%(n-1)+1; // 生成隨機數 0<a<=n-1  去試試
        if(check(a,n,x,t))
            return false;
    }
    return true;
}

/**
pollard_rho演算法進行質因素分解
*/
ll factor[100];//質因素分解結果(一開始無序)
int tot;//質因素的個數 0~to-1
ll gcd(ll a,ll b)
{
    ll t;
    while(b)
    {
        t=a;
        a=b;
        b=t%b;
    }
    if(a>=0) return a;
    return -a;
}

///找到一個質因素
ll pollard_rho(ll x,ll c)
{
    ll i=1,k=2;
    srand(time(NULL));
    ll x0=rand()%(x-1)+1;//隨即一個因子來判斷
    ll y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        ll d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k)
        {
            y=x0;
            k+=k;
        }
    }
}

///對n進行質因素分解,存入factor陣列,k為了防止死迴圈,設定為107左右
void findfac(ll n,int k)
{
    if(n==1)
        return;
    if(Miller_Rabbin(n))
    {
        factor[tot++]=n;
        return;
    }
    ll p=n;
    int c=k;
    while(p>=n)
        p=pollard_rho(p,c--);
    findfac(p,k);
    findfac(n/p,k);
}

int main()
{
    int t;scanf("%d",&t);
    ll n;
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d",&n);
        if(Miller_Rabbin(n))
        {
            printf("Prime\n");
            continue;
        }
        tot=0;
        findfac(n,107);
        sort(factor,factor+tot);
        printf("%I64d\n",factor[0]);
    }
    return 0;
}