錯過這篇文章，可能你這輩子不懂什麼叫傅立葉變換了（完）
圖片：Heinrich / 知乎 作者：Heinrich， 謹以此文獻給大連海事大學的吳楠老師，柳曉鳴老師，王新年老師以及張晶泊老師。
相信通過前面三章，大家對頻域以及傅立葉級數都有了一個全新的認識。但是文章在一開始關於鋼琴琴譜的例子我曾說過，這個栗子是一個公式錯誤，但是概念典型的例子。所謂的公式錯誤在哪裡呢？ 傅立葉級數的本質是將一個週期的訊號分解成無限多分開的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎並不是週期的。曾經在學數字訊號處理的時候寫過一首打油詩： 往昔連續非週期， 回憶週期不連續， 任你ZT、DFT， 還原不回去。 （請無視我渣一樣的文學水平……） 在這個世界上，有的事情一期一會，永不再來，並且時間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續的標記在時間點上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶，在我們大腦裡隔一段時間就會週期性的蹦出來一下，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因為，往昔是一個連續的非週期訊號，而回憶是一個週期離散訊號。 是否有一種數學工具將連續非週期訊號變換為週期離散訊號呢？抱歉，真沒有。 比如傅立葉級數，在時域是一個週期且連續的函式，而在頻域是一個非週期離散的函式。這句話比較繞嘴，實在看著費事可以乾脆回憶第一章的圖片。 而在我們接下去要講的傅立葉變換，則是將一個時域非週期的連續訊號，轉換為一個非週期連續訊號。 算了，還是上一張圖方便大家理解吧：
所以說，鋼琴譜其實並非一個連續的頻譜，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比喻真的是很難找出第二個來了。 因此在傅立葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續譜。那麼連續譜是什麼樣子呢？ 你見過大海麼？ 為了方便大家對比，我們這次從另一個角度來看頻譜，還是傅立葉級數中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。
盡情的發揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續…… 直到變得像波濤起伏的大海：
很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計算引數，而是選擇了一些讓圖片更美觀的引數，不然這圖看起來就像屎一樣了。 不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應該可以理解如何從離散譜變成了連續譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續譜的累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號。 不過，這個故事還沒有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這裡需要介紹到一個數學工具才能然故事繼續，這個工具就是—— 五、宇宙耍帥第一公式：尤拉公式 虛數i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1的平方根，可是它真正的意義是什麼呢?
我們知道乘-1其實就是乘了兩次 i使線段旋轉了180度，那麼乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉了90度。
現在，就有請宇宙第一耍帥公式尤拉公式隆重登場——
這個公式關鍵的作用，是將正弦波統一成了簡單的指數形式。我們來看看影象上的涵義：
關於複數更深的理解，大家可以參考： 這裡不需要講的太複雜，足夠讓大家理解後面的內容就可以了。 有了尤拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實數空間的投影。而螺旋線的疊加如果用一個形象的栗子來理解是什麼呢？ 光波 高中時我們就學過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實驗就是牛頓師傅的三稜鏡實驗：
但不同的是，傅立葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率範圍有限的疊加，而是頻率從0到無窮所有頻率的組合。 這裡，我們可以用兩種方法來理解正弦波： 第一種前面已經講過了，就是螺旋線在實軸的投影。 另一種需要藉助尤拉公式的另一種形式去理解： 將以上兩式相加再除2，得到： 這個式子可以怎麼理解呢？ 我們剛才講過，e^(it)可以理解為一條逆時針旋轉的螺旋線，那麼e^(-it)則可以理解為一條順時針旋轉的螺旋線。而cos(t)則是這兩條旋轉方向不同的螺旋線疊加的一半，因為這兩條螺旋線的虛數部分相互抵消掉了！ 舉個例子的話，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消，電場加倍。 這裡，逆時針旋轉的我們稱為正頻率，而順時針旋轉的我們稱為負頻率（注意不是複頻率）。 好了，剛才我們已經看到了大海——連續的傅立葉變換頻譜，現在想一想，連續的螺旋線會是什麼樣子： 想象一下再往下翻：
你猜猜，這個圖形在時域是什麼樣子？
順便說一句，那個像大海螺一樣的圖，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負頻率的部分沒有顯示出來。 如果你認真去看，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉半徑），頻率（旋轉週期）以及相位。而將所有螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了。 好了，講到這裡，相信大家對傅立葉變換以及傅立葉級數都有了一個形象的理解了，我們最後用一張圖來總結一下：
好了，傅立葉的故事終於講完了，下面來講講我的故事： 這篇文章第一次被卸下來的地方你們絕對猜不到在哪，是在一張高數考試的卷子上。當時為了刷分，我重修了高數（上），但是後來時間緊壓根沒複習，所以我就抱著裸考的心態去了考場。但是到了考場我突然意識到，無論如何我都不會比上次考的更好了，所以乾脆寫一些自己對於數學的想法吧。於是用了一個小時左右的時間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第一草稿。 你們猜我的了多少分？ 6分 沒錯，就是這個數字。而這6分的成績是因為最後我實在無聊，把選擇題全部填上了C，應該是中了兩道，得到了這寶貴的6分。說真的，我很希望那張卷子還在，但是應該不太可能了。 那麼你們猜猜我第一次訊號與系統考了多少分呢？ 45分 沒錯，剛剛夠參加補考的。但是我心一橫沒去考，決定重修。因為那個學期在忙其他事情，學習真的就拋在腦後了。但是我知道這是一門很重要的課，無論如何我要吃透它。說真的，訊號與系統這門課幾乎是大部分工科課程的基礎，尤其是通訊專業。 在重修的過程中，我仔細分析了每一個公式，試圖給這個公式以一個直觀的理解。雖然我知道對於研究數學的人來說，這樣的學習方法完全沒有前途可言，因為隨著概念愈加抽象，維度越來越高，這種影象或者模型理解法將完全喪失作用。但是對於一個工科生來說，足夠了。 後來來了德國，這邊學校要求我重修訊號與系統時，我徹底無語了。但是沒辦法，德國人有時對中國人就是有種藐視，覺得你的教育不靠譜。所以沒辦法，再來一遍吧。 這次，我考了滿分，而及格率只有一半。 老實說，數學工具對於工科生和對於理科生來說，意義是完全不同的。工科生只要理解了，會用，會查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數學課程教給數學系的老師去教。這樣就出現一個問題，數學老師講得天花亂墜，又是推理又是證明，但是學生心裡就只有一句話：學這貨到底幹嘛用的？ 缺少了目標的教育是徹底的失敗。 在開始學習一門數學工具的時候，學生完全不知道這個工具的作用，現實涵義。而教材上有隻有晦澀難懂，定語就二十幾個字的概念以及看了就眼暈的公式。能學出興趣來就怪了！ 好在我很幸運，遇到了大連海事大學的吳楠老師。他的課全程來看是兩條線索，一條從上而下，一條從下而上。先將本門課程的意義，然後指出這門課程中會遇到哪樣的問題，讓學生知道自己學習的某種知識在現實中扮演的角色。然後再從基礎講起，梳理知識樹，直到延伸到另一條線索中提出的問題，完美的銜接在一起！ 這樣的教學模式，我想才是大學裡應該出現的。 最後，寫給所有給我點贊並留言的同學。真的謝謝大家的支援，也很抱歉不能一一回復。因為知乎專欄的留言要逐次載入，為了看到最後一條要點很多次載入。當然我都堅持看完了，只是沒辦法一一回復。 本文只是介紹了一種對傅立葉分析新穎的理解方法，對於求學，還是要踏踏實實弄清楚公式和概念，學習，真的沒有捷徑。但至少通過本文，我希望可以讓這條漫長的路變得有意思一些。 最後，祝大家都能在學習中找到樂趣。 |
這裡有一條數軸，在數軸上有一個紅色的線段，它的長度是1。當它乘以3的時候，它的長度發生了變化，變成了藍色的線段，而當它乘以-1的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數軸上圍繞原點旋轉了180度。
這個公式在數學領域的意義要遠大於傅立葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因為它的特殊形式——當x等於Pi的時候。
經常有理工科的學生為了跟妹子表現自己的學術功底，用這個公式來給妹子解釋數學之美：”石榴姐你看，這個公式裡既有自然底數e，自然數1和0，虛數i還有圓周率pi，它是這麼簡潔，這麼美麗啊！“但是姑娘們心裡往往只有一句話：”臭屌絲……“
