原題出處：牛客網-網易2019實習生招聘程式設計題集合
轉夢劇場的橙子的解析

　小Q得到一個神奇的數列: 1, 12, 123,…12345678910,1234567891011…。
並且小Q對於能否被3整除這個性質很感興趣。
小Q現在希望你能幫他計算一下從數列的第l個到第r個(包含端點)有多少個數可以被3整除。

輸入描述:
輸入包括兩個整數l和r(1 <= l <= r <= 1e9), 表示要求解的區間兩端。

輸出描述:
輸出一個整數, 表示區間內能被3整除的數字個數。

輸入例子1:
2 5

輸出例子1:
3

例子說明1:
12, 123, 1234, 12345…
其中12, 123, 12345能被3整除。

夢劇場的橙子：
來當插入i以後的規律：
i = 1 —-> 1
i = 2 —-> 0
i = 3 —-> 0
i = 4 —-> 1
i = 5 —-> 0
i = 6 —-> 0
i = 7 —-> 1
………………
發現在區間[1,x]之間共計有 fuck(x) = (x+2)/3 個1，剩下的都滿足要求
那麼在區間[l, r]上的 r-l+1個 數字中，必須摳掉 fuck(r) - fuck(l-1) 個不滿足要求的數字。
直接打印出來就可以了，O(1)，不需要迴圈遍歷。

#include<stdio.h>
#define fuck(x) (((x)+2)/3)
 

int main(){
    int l, r;
    while(~scanf("%d%d", &l, &r))
        printf("%d\n", r-l+1-fuck(r)+fuck(l-1));
    return 0;
}

============補充證明=============
記插入數字i以後形成的新數字為a[i]，數字a[i]的餘數記作last[i]
容易發現，a[i] = a[i-1]*10k + i。
則
last[i] = a[i]%3 = (a[i-1]*10k + i)%3
= (a[i-1]*(10k -1) + (a[i-1] + i))%3
=(a[i-1] + i)%3
=(a[i-1]%3 + i%3)%3
=(last[i-1] + i%3)%3

則last滿足遞推關係：
last[i] = (last[i-1] + i%3)%3
數學歸納法：
當k = 0的時候：
last[0] = 0、last[1] = 1、last[2] = 0成立

假設規律last[3k+1] = 1、last[3k] = 0、last[3k+2] = 0成立；
則對於任意k+1而言
last[3(k+1)] = last[(3k+2) + 1] = (0 + 3(k+1)%3)%3 = 0
last[3(k+1)+1] = (0 + (3(k+1)+1)%3)%3 = 1
last[3(k+1)+2] = (1 + (3(k+1)+2)%3)%3 = (1+2)%3 = 0
可見對任意k，上述規律恆成立。

綜上，last[i] = i%3==1

解析補充：
　來當插入i以後的規律：
　i = 1 —-> 1
　i = 2 —-> 0
　i = 3 —-> 0
　i = 4 —-> 1
　i = 5 —-> 0
　i = 6 —-> 0
　i = 7 —-> 1
　即：
　1%3 == 1
　12%3 == 0
　123%3 == 0
　1234%3 == 1
　12345%3 == 0
　123456%3 == 0
　1234567%3 == 1
　…

搞演算法就是搞數學
數學就是藝術
藝術就是爆炸!