題目描述
求出1~13的整數中1出現的次數,並算出100~1300的整數中1出現的次數？為此他特別數了一下1~13中包含1的數字有1、10、11、12、13因此共出現6次,但是對於後面問題他就沒轍了。ACMer希望你們幫幫他,並把問題更加普遍化,可以很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數（從1 到 n 中1出現的次數）。
規律( 1 的數目)

如果第 i 位(自右向左，從1開始標號)上的數字是0，則第 i 位可能出現 1 的次數由更高位決定(若沒有高位，則視高位為0)，等於更高位數乘以當前位數的權重( $1$

如果第 i 位上的數字為 1，則第 i 位上出現 1 的次數不僅受更高位影響，還受低位影響(若沒有低位，視低位為0)，等於更高位數乘以當前位數的權重 ( $1$

如果第 i 位上的數字大於 1，則第 i 位上可能出現 1 的次數僅由更高位決定(若沒有高位，視高位為0)，等於(更高位數 + 1)乘以當前位數的權重 ( $1$

• 從 1 至 10，在它們的個位數中，任意的 x 都出現了 1 次
• 從 1 至 100，在它們的十位數中，任意的 x 都出現了 10 次
• 從1至1000，在它們的百位數中，任意的x都出現了100次
• 依次類推，從 1 至 $10^{i}$，在它們的左數第二位(右數第 i 位)，任意的 x 都出現了 $(10^{i-1})$次。這個規律很容易驗證，這裡不再多做說明

接下以 n = 2593, x = 5 為例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593中，數字 5 總計出現了 813 次，其中有 259次出現在個位，260次出現在十位，294次出現在百位，0次出現在千位

• 現在依次分析這些資料，首先是個位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個 10，因此任意的 x 都出現了 259 次。最後剩餘的三個數 2531,2592,2593，因為它們最大的個位數字 3 < x。因此不會包含任何 5. (也可以這麼看， 3 < x， 則個位上可能出現的 x 的位數由更高位決定，等於更高位數字 $(259*10^{1-1})$ 。

• 然後是十位。從 1 至 2500中，包含了25個100，因此任意的 x 都出現了 25 * 10 = 250 次。剩下的數字從 2501 至 2593，它們最大的十位數是 9 > x，因此會包含全部 10 個 5。最後總計 250 + 10 = 260。(也可以這麼看，9 > x，則十位上可能出現的 x 的位數由更高位決定，等於更高位數字 $(25 + 1) * 10^{2-1} = 260)$.

• 接下來是百位。從1至2000中，包含了2個1000，因此任意x都出現了2 * 100 = 200次。剩下的數字從2001至2593，它們最大的百位數字5 == x，這時候情況就略微複雜，它們的百位肯定是包含5的，但是不會包含全部100個。如果把百位是5的列出來，是從2500至2593，數字的個數與十位和個位數字有關，是93 + 1 = 94。最後總計 200 + 94 = 294。(也可以這麼看， 5 == x，則百位上可能出現的x次數不僅受跟高位影響，還受低位影響，等於更高位數字 $2 * 10^{3-1} + (93 + 1))$

• 最後是千位，現在已經沒有更高位，因此直接看最大的千位數字 2 < x，因此不會包含任何 5 。(也可以這麼看，2 < x，則千位上可能出現的x的次數僅由更高位決定，等於更高位數字 $0 * 10^{4-1} = 0$)

到此為止，已經計算出全部數字 5 的出現次數。
總結
總結一下以上的演算法，可以看到，當計算右數第 i 位包含的 x 的個數時：

• 取第 i位左邊(高位)的數字，乘以 $10^{i-1}$，得到基礎值 a
• 取第 i 位數字，計算修正值
• 如果大於 x , 則結果為 $a + 10^{i-1}$
• 如果小於 x，則結果為 a
• 如果等於 x，則取第 i 位右邊(低位)數字，設為 b，最後結果為$ a + b + 1$
  程式碼

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
        if(n < 1) return 0;
        if(n < 9) return 1;
        
        int high = 0;
        int k = 0;
        int cur = 0;
        int count = 0;
        
        for(int i = 1; k = n / i; i *= 10){
            high = k / 10;
            
            count += high * i;
            
            cur = k % 10;
            if(cur > 1)
                count += i;
            else if(cur == 1)
                count += n - k * i + 1;
        }
        
        return count;   
    }
};

原文連結：整數中1出現的次數(從1到n整數中1出現的次數)