如何快速設計一個FIR濾波器（二）通俗易懂，膜拜
一、理想低通濾波器單位脈衝響應是什麼樣
在如何快速設計一個FIR濾波器（一）中，我們介紹了一種簡單設計FIR的方法——零極點法。這個方法非常簡單，稍加培訓，用筆和紙就能完成；當然缺點也很顯而易見：零極點設計出的濾波器，只能給出大概的頻率響應，對於一些要求較高的系統，顯得無能為力。今天我們介紹一種更加嚴謹的方法。
現在假設我們要設計一個低通濾波器，截止頻率為 ，其理想頻率響應可以用如下函式表示：
則該濾波器的脈衝響應為：
可見脈衝響應為一個sinc函式。畫出來大概張這個樣子：
這個函式非常重要哦，建議都自己手動推導一下，非常有意思，我們把幅值最大的那一瓣稱之為主瓣，剩下稱之為從瓣，是不是很形象呢？注意主瓣的週期是從瓣的2倍哦。
可能你已經看見了，脈衝響應是由無窮多個——不對呀，我們是想設計一個有限脈衝響應的，結果出現了無窮多個響應，這可如何搞？——既然臣妾做不到把所有的脈衝響應都用上（因為我是有限脈衝濾波器FIR啊），那我只能擷取有限一部分進行代替了，也就是——加窗。
窗函式這個東西很不好理解，我們就多花點功夫說說這個事。
二、什麼是加窗
現在假設有一個函式，表示式為 ，為簡單起見，令
，
，很顯然，餘弦函式的頻域包含兩個分量
假如我們現在以10Hz的頻率進行取樣，顯然是滿足香濃取樣定理的，取樣脈衝及其頻譜如下圖：
取樣過程就是拿取樣訊號和原始訊號進行乘積，那取樣之後的訊號長啥樣呢？
上圖即為取樣後的訊號及其頻譜。注意：此時取樣後的訊號是在時域無限擴充套件的，頻譜也一樣。但實際的計算中是不可能處理無窮多數量的訊號的，那怎麼辦呢？——截短唄，只觀察一部分樣本行不？貌似我們也沒有更好的選擇了。
那怎麼截短呢？最簡單的方式就是矩形函數了，如下圖所示：
矩形函式的方法簡單粗暴，只保留一部分（幅值為1），其餘全部設為0，然後那矩形函式和取樣訊號相乘，就得到加窗（矩形窗）之後的取樣訊號了。矩形訊號的頻譜就是我們熟悉的sinc函式。加窗之後的取樣訊號及其頻譜如下：
加窗後的離散餘弦訊號可以看成窗函式（矩形，頻譜為sinc函式）與餘弦離散訊號的乘積。那在頻域呢就是sinc函式和餘弦頻譜的卷積。看一個圖就明白加窗後的頻譜是怎麼來的了：
可以看出，由於加窗行為，頻譜中頻率成分變複雜了，由於矩形窗函式的頻譜是無限寬的，在頻譜的最大值處也出現了一定的畸變（略大於1）。這種有限長的離散訊號在時域中計算機是可以處理（離散的），但是在頻域還是不能，因為還是連續訊號。在如何理解離散傅立葉變換及Z變換一文中，我們介紹了將有限長的訊號進行週期延拓，就得到一個週期的離散訊號，其傅立葉變換也是週期離散的，這樣就可以在計算機中處理了。關於離散傅立葉變換，可以參照：
J Pan：如何理解離散傅立葉變換及Z變換zhuanlan.zhihu.com
現在問題就變成了如何進行週期延拓——卷積，什麼意思呢？我們現在找一個取樣脈衝，時域中週期和加窗後的取樣訊號的週期一致（都是1），其形貌如下圖（左）所示：
我們已經知道，週期延拓取樣脈衝的頻譜仍未取樣脈衝如上圖（右）所示。現在就可以做一個有意思的事情：週期延拓在數學上可以看成是一個有限長的訊號（長度即為週期）和一個同樣週期的無限長取樣脈衝的卷積。什麼意思呢？看一個圖就一目瞭然了：
感興趣的可以用卷積的數學定義推導一下看看是不是這樣，很簡單的。由卷積定理我們知道，卷積和乘積在時域和頻域是對偶的，也就是說剛才我們所做的週期延拓（時域卷積）在頻域是乘積哦，具體如下圖所示。
所以最終得到的經過週期延拓的加窗訊號及其頻譜如下圖所示。可以看出，進過週期延拓，加窗導致的頻譜洩漏似乎得到了抑制，加窗對頻譜沒什麼影響。
事實是不是這樣呢？——直覺告訴我們應該不是。我們之所以最終得到這個結論，是因為我們選的初始函式太簡單了。餘弦函式是週期訊號，頻譜是有限寬度的，如果窗函式的寬度是訊號週期的整數倍，則頻域取樣（時域週期延拓）將正好採在sinc函式的從瓣取值為零的地方，洩漏的頻譜沒有采到而已，具體如下圖所示。
可能心細有童鞋會有疑問，為啥主瓣的最大值會有一定的偏移？——原因就是sinc函式主瓣和從瓣的週期不一樣，卷積時主瓣與從半疊加，最大值就偏移了。
實際工程中，我們可能不知道被處理訊號的週期，或者壓根就不是週期的訊號，那會出現什麼呢？現在假如我們把窗函式加寬，比如增加到原來的1.4倍，如下圖所示：
則可以得到加窗後的訊號及頻譜為：
加窗並進行週期延拓後的訊號及頻譜為：
可見，由於窗函式寬度和原訊號週期不一致，加窗後的訊號進行週期延拓時出現了不連續，頻域取樣時不像前面那樣只採集到sinc為零的地方，頻譜出現了較大的洩漏，如下圖所示。
實際工程上絕大多數訊號都不是週期訊號，也不是有限長訊號，而是我們只能觀察有限長度而已。要想不出現頻譜洩漏，需要窗函式長度是被處理訊號頻譜所有分量的整數倍，這幾乎是不能達到的。因此加窗後，頻譜洩漏是不可避免的，只能儘量減小。
本節中所用的算例來自 離散傅立葉變換DFT基本原理圖解 ，感興趣請前往閱讀。
三、窗函式都有哪些
最開始我們介紹了一個理想的低通濾波器，在頻域內其幅值響應是一個矩形。這個矩形進行傅立葉逆變換，發現單位衝擊響應有無窮多個，我們沒辦法，用了一個矩形窗進行截短，注意著兩個矩形不是同一個事情哦，一個是幅值響應（頻域），一個截短函式（時域），只不過樣子都呈現矩形。
現在我們都放在頻域來看：首先時域矩形函式在頻域為sinc函式，時域的矩形函式截短（乘積）在頻域對應卷積。也就是說在頻域裡，脈衝響應截短後的濾波器頻域幅值響應是矩形訊號和sinc訊號的卷積，仔細想想這段話哦！下圖展示了卷積之後的訊號的樣子。
可以想象：假設窗函式寬度無窮大，則對應的sinc函式無窮窄，則卷積之後的函式非常接近理想矩形；反之，若窗函式很窄，在sinc函式就會變得很寬，則卷積之後的函式與理想矩形差別就比較大，這就是傳說中的不確定原理哦，具體可參照：
J Pan：如何理解不確定性原理—不確定or測不準？zhuanlan.zhihu.com
那什麼樣的窗函式比較好呢？——在頻域看就是要能量相對集中，也就是旁瓣要低。因為出現洩漏的主要原因就是窗函式的頻譜是無限長的，與訊號的頻譜卷積時，主瓣與從瓣會出現疊加，因此從瓣的能量越小，影響就越小。在時域看就是加窗後的函式在進行週期延拓時儘量不要有非連續，因為非連續就需要很多分量來模擬，就造成了頻譜洩露。那什麼樣函式的頻譜主瓣能量較集中呢？——主要有以下是幾種常見的窗函式：矩形窗、漢寧窗、漢明窗、凱撒窗等。
這些窗函式對應的頻譜分別為：
現在我們拿漢寧窗（Hanning）來舉個例子。還是原來的餘弦函式 ，
，
。假設窗函式的寬度
，Hanning窗窗函式及其頻譜為：
可見其頻譜中主瓣能量與矩形窗比，集中了很多。餘弦訊號取樣、加窗之後的訊號及其頻譜為：
由於Hanning窗從零開始，結束的時候也是零，因此加窗之後的訊號開始和結束也都是零，連續性好了，從頻譜看，洩漏也少了。這個從週期延拓後（DTFT）的訊號與頻譜看的更清楚。
四、如何基於窗函式法設計FIR
這篇文章中，我們主要說怎麼較為精確的設計一個FIR，我們花了大量篇幅說了窗函式，這是因為窗函式在實際的工程應用中很多，比如基於窗函式的FIR就是FIR設計中最廣泛運用的一個方法。接下來，我們要介紹一下什麼是用窗函式設計FIR。
在文章開始的時候，我們已經介紹了，對於理想低通濾波器，其脈衝響應為sinc函式，且有無窮多個，我們必須加窗才能處理，加窗就會有一定的頻譜洩漏，因此實際設計出來的濾波器和理想濾波器還是有差別的。
基於窗函式的FIR設計就是通過選擇合適常函式來找到滿足要求的濾波器，一般步驟是這樣的：
1）確定頻域的響應函式 ，低通、高通、帶通或者其他；
2）確定頻域的響應函式 的傅立葉逆變換，找到連續脈衝響應函式
；
3）對脈衝響應函式 按照一定的取樣頻率進行取樣，獲得離散訊號
；
4）選擇合適的窗函式，對離散訊號 加窗，獲得有限長度的脈衝響應
；
當然實際實踐中，我們只需要知道這個過程，具體細節不需要我們考慮，因為MATLAB提供了一個強大的函式，幫我們都做好了——fir1。
fir1的基本語法如下：h = fir1(n,Wn,ftype,window)
其中n表示濾波器的階數（order），Wn表示歸一化後的濾波器的截止頻率，可表示成 的形式。舉個例子，比如一個帶狀濾波器，取樣頻率
是200Hz，兩個截止頻率分別為10Hz和50Hz，則
，即截止頻率除以
。ftype表示濾波器型別，可以是lowpass, highpass, bandpass, bandstop, or multiband filter。window表示窗函式型別，前面我們列到的窗函式都可以選擇。h為所設計的濾波器的係數。
舉個簡單的例子：
h = fir1(48,[0.35 0.65]);
freqz(b,1,512)
這是一個48階的帶通濾波器，歸一化的截止頻率為[0.35 0.65]，其幅值響應和相位響應如下圖所示。
可見，採用fir1函式設計FIR濾波器非常方便。
除了fir1函式，fir2函式也有時候會用到，fir2函式是什麼意思呢？——我們稱之為基於頻率取樣法的設計方法，具體做法就是：把濾波器期望的幅值響應用一組分立的點 來表示，
表示頻率為
時的期望幅值響應，然後在不同的點之間進行線性插值，得到完成的期望幅值響應，然後進行傅立葉逆變換並用Hamming（漢明窗）截短來獲得濾波器的係數。
基本語法為：h = fir2(n,f,m)
n表示濾波器階數，f表示分離點的向量，m表示分立點對應的幅值響應向量，舉個例子就明白了。現在要設計一個低通濾波器，幅值響應如下圖所示：
顯然四個特徵點的座標分別為(0,1), (0.2,1), (0.2,0), (1,0) ，於是我們可以獲得分立點的向量為f=[0 0.2 0.2 1] ，對應幅值響應向量為m=[1 1 0 0]。
f=[0 0.2 0.2 1] ;
m=[1 1 0 0];
h = fir2(48,f,m);
freqz(b,1)
五、如何基於響應最優法設計FIR
前面我們說了兩種基於窗函式的方法，主要是用窗函式對無限長的脈衝進行截短，獲得近似的頻域響應。除了窗函式法，還有另外的一種解決方案也比較常用，我們稱之為“最優法”，主要思路就是找到一組脈衝響應，讓它的頻域響應 與期望的濾波器的頻域響應
儘可能的一致，主要通過兩種方法來實現，一個是最小二乘法，另一個是切比雪夫法。
（一）最小二乘法
與頻率取樣法近似，期望的頻率響應用一組分立的點 來表示，在不同的點之間進行插值，然後來尋找濾波器的係數
時期滿足
其中 為不同頻率下的權重。
MATLAB指令為：h=firls(n,f,m)
n為濾波器階數，f表示分離點的向量，m表示分立點對應的幅值響應向量。仍以前面說的低通濾波器為例：
f=[0 0.2 0.2 1] ;
m=[1 1 0 0];
h = firls(48,f,m);
freqz(b,1)
（二）切比雪夫法（又叫帕克斯-麥克勞林法）
與最小二乘法不同（方差最小），切比雪夫法採用的方案是最大誤差最小，即：
MATLAB指令為：h=firpm(n,f,m)
n、f、m定義和前面一致，不同的是頻率響應在同一頻率下必須去不同的值。前面的例子中當頻率為0.2（歸一化後）時，頻率響應可直接從1降到0，對於切比雪夫法，規定不能這樣做，我們將第二個0.2改為0,21。
f=[0 0.2 0.21 1] ;
m=[1 1 0 0];
h = firpm(48,f,m);
freqz(b,1)
六、如何利用MATLAB設計FIR濾波器
要想快速設計一個FIR濾波器，MATLAB可以說是一個最有利的幫手，當你知道較多濾波器知識和相關函式時，可以直接呼叫函式進行設計，靈活且方便。當你不知道時，也沒有關係，開啟MATLAB，在命令列輸入：filterDesigner或者fdatool(老版MATLAB)，你就能看到如下介面：
通過勾勾選選就能設計濾波器哦！
如果你又進步了一點，已經設計出一個濾波器，相看看效能怎麼樣，也簡單，開啟MATLAB，輸入：fvtool(h)，h就是你設計的濾波器的係數，你就會看到各種你想要的濾波器特性：幅值響應、相位響應、脈衝響應、零極點等等。
