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矩陣範數的等價性（原創）

阿新 • • 發佈：2019-01-08

矩陣範數的等價

設 F=R 或 C, 對於任意兩個Fn×n 上的範數 ‖⋅‖α 與 ‖⋅‖β, 若存在常數 C1>0,C2>0, 使得 ∀X∈Fn×n,

‖X‖α≤C1‖X‖β,‖X‖β≤C2‖X‖α
則稱 ‖⋅‖α 與 ‖⋅‖β 是等價的。

性質

Fn×n 上的任意兩種矩陣範數都是等價的。

證明

令 Eij∈Fn×n 表示只有在第 i 行第 j 列的元素為 1, 其他元素都為 0 的矩陣。
則

∀X∈Fn×n,X=(xij)n×n=∑i=1n∑j=1nxijEij
1. 首先證明對於任意一個Fn×n 上的範數 ‖⋅‖,
函式 φ:Fn×n↦R,φ(X)=‖X‖ 在 L2 範數下是連續的。
對於任意一個Fn×n 上的範數 ‖⋅‖,∀X,Y∈Fn×n,
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