小波變換網文精粹：小波變換教程(二)

原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial

網址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

譯文轉自：http://blog.163.com/[email protected]/blog/static/35943136200992422638730/

二、變換什麼

        首先，我們為什麼需要（對訊號做）變換，到底什麼是變換？

        原始訊號中有一些資訊是很難獲取的，為了獲得更多的資訊，我們就需要對原始訊號進行數學變換。在接下來的教程中，我將時域內的訊號視為原始訊號，經過數學變換後的訊號視為處理訊號。

        可用的變換有很多種，其中傅立葉變換可能是最受歡迎的一種。

        實際中很多原始訊號都是時域內的訊號，也就是說不管訊號是如何測得的，它總是一個以時間為變數的函式。換言之，當我們畫訊號圖的時候，橫軸代表時間（獨立變數），縱軸代表訊號幅度（非獨立變數）。當我們畫訊號的時域圖時，我們得到了訊號的時幅表示。對大多數訊號處理應用來說，這種表示經常不是最好的表示。在很多時候，大量特殊的資訊是隱藏在訊號的頻率分量中的。訊號的頻譜圖表示的一般是訊號中的頻率分量。頻譜圖展示了原始訊號中存在哪些頻率分量。

        直覺上，我們都知道頻率意味著某種事物的變化速率。如果某種東西（用正確的技術術語來說是一個數學或物理變數）變化的很快，我們說它的頻率高，如果它變換的不快，我們就說它的頻率低。如果這個變數一直保持不變，我們說它的頻率為0，或者說沒有頻率。舉例來說，日報的頻率就比月刊高（因為它出版快）。

        頻率用週期/秒，或者用一個更廣泛的說法，赫茲來衡量。舉例來說，我們日常生活中用的電的頻率是60Hz（世界上的其他國家是50Hz）。這意味著如果我們想要畫一條電流曲線的話，我們將會看到的是1秒內出現的50個重複的正弦波。現在，觀看以下這些圖。第一幅圖中正弦訊號的頻率是3Hz，第二幅是10Hz，第三幅則是50Hz。

        那麼我們怎樣測量頻率呢？或者我們怎樣找到一個訊號中所含的頻率分量呢？答案是傅立葉變換(FT)。如果對時域內的訊號做傅立葉變換，就會得到訊號的幅頻表示。也就是說，我們現在畫圖的話，橫軸就是頻率，縱軸則是訊號的幅度。這種圖告訴我們訊號中存在哪些頻率分量。

        頻率軸從0開始直到正無窮。每一個頻率都對應著一個幅度。舉例來說，如果我們對房間里正在使用的電流訊號做傅立葉變換，頻譜圖中將會在50Hz處出現一個尖峰，其它頻率對應的幅值則為0，因為電流訊號中只包含了50Hz的頻率分量。當然，（實際應用中）沒有一個訊號的傅立葉變換是這麼簡單的。對大多數應用來說，訊號中包含的頻率分量都大於一個。下圖展示了50Hz訊號的傅立葉變換。

         這裡有一點需要注意：圖1.4給出了兩幅圖，第二幅顯示的其實是第一幅圖的前半部分，這是因為實數的頻譜圖是左右對稱的（這裡你不理解也沒關係）。圖1.4中上方的圖展示了這一點。不過，因為對稱部分的後一半隻不過是前一半的映象，它並沒有提供更多的資訊，因此，這部分經常不畫在圖裡。下文中出現的大部分頻譜圖，我只畫前半部分。