馬青公式

π=16arctan15−4arctan1239$\pi =16arctan\frac{1}{5}-4arctan\frac{1}{239}$
arctanx=x−x33+x55−......$arctanx=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-......$
π=16×(11×5−13×53+......)−4×(11×239−13×2393+......)$\pi =16\times (\frac{1}{1\times 5}-\frac{1}{3\times 5^3}+......)-4\times (\frac{1}{1\times 239}-\frac{1}{3\times {239}^3}+......)$
級數中的分數，分母增長很快，但我們可以對一個分式，不斷除以同一個低精度數(52、2392$5^2、{239}^2$)，就能得到所有分數的值。

# Python 實現

import pandas as
 
 pd
def f(number):    
    number1 = number+10

    # 算到小數點後number1位
    b = 10**number1

    # 求含4/5的首項
    x1 = b*4//5
    # 求含1/239的首項
    x2 = b// -239

    # 求第一大項
    he = x1+x2
    #設定下面迴圈的終點，即共計算n項
    number *= 2

    #迴圈初值=3，末值2n,步長=2
    for i in range(3,number,2):
        # 求每個含1/5的項及符號
        x1 //= -25
 

        # 求每個含1/239的項及符號
        x2 //= -57121
        # 求兩項之和
        x = (x1+x2) // i
        # 求總和
        he += x

    # 求出π
    pai = he*4
    #舍掉後十位
    pai //= 10**10

    ############ 輸出圓周率π的值
    result=str(pai)
    return result

最後為了方便統計出現的數字的次數，將其轉換為series格式，並定義以下函式來視覺化。

def show(n,plt_type='pie'
 
):
    result = f(n)
    a = pd.Series([int(i) for i in result])
    b = a.value_counts()
    if plt_type=='pie':
        plt.figure(figsize=(10,8))
        plt.pie(b,labels=b.index,explode=[0.05]*10,shadow=True,autopct='%1.1f%%')
        plt.show()
    elif plt_type=='bar':
        plt.figure(figsize=(10,8))
        plt.bar(b.index,b.values)
        plt.show()
    else:
        print('Type Wrong')

利用此函式可輸出餅圖或柱形圖
當n=100時：

show(100,'pie')
show(100,'bar')

當n=10000時：

show(10000,'bar')
show(10000,'pie')

由此來看π$\pi$應該是正規數。突然想看看在其中會不會出現自己的生日，於是定義以下函式

import re
def find_(pattern,result):
    loc = result.find(pattern)
    return loc

result=f(300000)#產生300000位數
find_('199766',result)

最後return了140151，驚奇竟然真的在裡面了！（雖然這個演算法有誤差hhh不過姑且當他正確吧）