Problem Description

A number sequence is defined as follows:
f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.
Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).

Input

The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.

Output

For each test case, print the value of f(n) on a single line.

題解

題目大意：

題目意思很好理解，給你一個類似於fabonacci數列的關係式，要求這個數列的第n項。但是注意n的範圍，如果直接用陣列模擬的話，可能會棧溢位。所以就需要去尋找規律，找到一個週期，這是一個思路。還有一個思路，就是將迭代式轉化為矩陣乘法，取模運算，可以用快速冪演算法進行優化，這種思路也很巧妙。

矩陣乘法：

迭代式為：f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7
可以將迭代式轉化為矩陣乘法形式：

題中的迭代式可轉化為：

初始條件是f(1) = 1, f(2) = 1,也就轉化為求中間矩陣的n-2次方，可以通過快速冪演算法來處理冪運算，關於快速冪演算法可以參看

實現程式碼如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int m = 2;
const int mod = 7;
struct Matrix
{
    int x[m][m];
};

// 矩陣乘法
Matrix multiplication(Matrix a, Matrix b)
{
    Matrix temp;
    memset(temp.x, 0, sizeof(temp.x));
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        for(int j=0; j<m; j++)
        {
            for(int k=0; k<m; k++)
            {
                temp.x[i][j] += a.x[i][k] * b.x[k][j];
                temp.x[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return temp;
}

//矩陣的快速冪
Matrix powmatrix(Matrix matrix, int n)
{
    Matrix temp;
    memset(temp.x, 0, sizeof(temp.x));
    for(int i=0; i<m; i++)
        temp.x[i][i] = 1;     //初始化為單位陣
    while(n)
    {
        if(n%2 == 1)
        {
            temp = multiplication(temp, matrix);
        }
        matrix = multiplication(matrix, matrix);
        n = n/2;
    }
    return temp;
}

int main()
{
    int A, B;
    long long n;
    while((cin>>A>>B>>n) && A!=0 && B!=0 && n!=0)
    {
        Matrix mat;
        // 初始條件
        mat.x[0][0] = A;
        mat.x[0][1] = B;
        mat.x[1][0] = 1;
        mat.x[1][1] = 0;
        mat = powmatrix(mat, n-2);
        printf("%d\n",(mat.x[0][0] + mat.x[0][1])%mod);
    }
    return 0;
}

找規律：

題目給的n的範圍比較大，所以要想到去找規律，尋找一個週期出來，然後再通過週期進行處理；題目給的迭代式是mod 7，mod 7的結果最多隻有（0,1,2,3,4,5,6）7種，兩個mod 7的數組合最多就是7*7=49種，所以迴圈節最多為49。然後再通過迴圈找到週期。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int main()
{
    int A, B;
    long long n;
    int f[51];
    while((cin>> A >> B >> n) && A!=0 && B!=0 && n!=0)
    {
        f[1] = 1;
        f[2] = 1;
        int i;
        for(i=3; i<51; i++)
        {
            f[i] = A*f[i-1] + B*f[i-2];
            f[i] = f[i] % 7;
            if(f[i] == 1 && f[i-1] == 1)
            {
                break;
            }
        }
        n = n%(i-2);   // i-2為一個週期
        f[0] = f[i-2];
        cout << f[n] <<endl;
    }
    return 0;
}

參考連結：