LibreOJ #2547.「JSOI2018」防禦網絡 動態規劃
阿新 • • 發佈:2019-01-09
題意
給出一棵點仙人掌,問點集V的所有子集的斯坦納樹大小的期望是多少。取模。
分析
考慮把每個點雙的貢獻分開算。對於一條割邊,它在斯坦納樹中出現,當且僅當被它連線的兩個連通塊中都有點被選擇。
對於一個環,設有x個點的子樹中有點被選,則這x個點必須保證連通。那麼我們肯定是找到距離最大的一對相鄰點,然後把它們中間的邊斷開。
考慮列舉這個距離,設表示有多少種選點方案滿足任意一對相鄰點之間的距離不小於,那麼相鄰點之間距離的最大值為的方案就是。
考慮如何求,列舉環上編號最小的被選擇點,然後從這個點開始,設表示前面的點已處理完,且一定被選的方案,用字首和來優化轉移即可。
時間複雜度是。
程式碼
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
typedef long long LL;
const int N=405;
const int MOD=1000000007;
int n,m,cnt,last[N],dep[N],fa[N],tot,bel[N],ans,a[N],b[N],size[N],f[N],g[N],bin[N],s [N];
bool vis[N];
struct edge{int to,next;}e[N*2];
std::vector<int> vec[N];
int ksm(int x,int y)
{
int ans=1;
while (y)
{
if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
}
return ans;
}
void addedge(int u,int v)
{
e[++cnt].to=v;e[cnt].next=last [u];last[u]=cnt;
e[++cnt].to=u;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;
}
void pre(int x)
{
vis[x]=1;dep[x]=dep[fa[x]]+1;size[x]=1;
for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
{
if (e[i].to==fa[x]) continue;
if (!vis[e[i].to]) fa[e[i].to]=x,pre(e[i].to),size[x]+=size[e[i].to];
else if (dep[e[i].to]<dep[x])
{
tot++;vec[tot].push_back(x);bel[x]=tot;
for (int j=x;j!=e[i].to;j=fa[j]) vec[tot].push_back(fa[j]),bel[fa[j]]=tot;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
bin[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++) bin[i]=bin[i-1]*2%MOD;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
addedge(x,y);
}
pre(1);
for (int i=1;i<=cnt;i+=2)
{
int x=e[i].to,y=e[i+1].to;
if (dep[x]>dep[y]) std::swap(x,y);
if (bel[x]!=bel[y]||!(bel[x]*bel[y])) (ans+=(LL)(bin[size[y]]-1)*(bin[n-size[y]]-1)%MOD)%=MOD;
}
for (int i=1;i<=tot;i++)
{
int sz=0,L=vec[i].size();
for (int j=0;j<vec[i].size();j++) a[++sz]=vec[i][j];
for (int j=0;j<vec[i].size();j++) a[++sz]=vec[i][j];
for (int j=1;j<=sz;j++)
{
b[j]=1;
for (int k=last[a[j]];k;k=e[k].next)
if (bel[e[k].to]!=bel[a[j]]) b[j]+=e[k].to==fa[a[j]]?n-size[a[j]]:size[e[k].to];
}
memset(g,0,sizeof(g));
for (int j=1;j<=L;j++)
{
for (int len=1;len<=L;len++)
{
memset(f,0,sizeof(f));
memset(s,0,sizeof(s));
f[j]=s[j]=1;
for (int k=j+1;k<=j+L;k++)
if ((k-1)%L+1>=j) f[k]=(LL)(s[k-1]+MOD-s[std::max(k-len-1,0)])*(bin[b[k]]-1)%MOD,s[k]=(s[k-1]+f[k])%MOD;
else f[k]=0,s[k]=s[k-1];
(g[len]+=f[j+L])%=MOD;
}
}
for (int j=1;j<=L;j++) (ans+=(LL)(L-j)*(g[j]+MOD-g[j-1])%MOD)%=MOD;
}
printf("%d",(LL)ans*ksm(ksm(2,MOD-2),n)%MOD);
return 0;
}