當 A 滿秩時，方程 Ax=b 的解為 x=A−1b。但當 A 不滿秩，甚至方程 Ax=b 無解時，我們也希望用某種逆 A† 的形式表示方程的（近似）解 x=A†b。這便是廣義逆的作用。

0 投影變換與投影矩陣

投影矩陣的求法：

（1）M→M：P{L,M}[X|Y]=[X|O]⇒PL,M=[X|O][X|Y]−1；
（2）L⊥→L：PL=[X|O][X|Y]−1
=[X|O][[X|Y]H[X|Y]]−1[X|Y]H
=[X|O]⎡⎣⎢⎢⎢(XHX)−1OO(YHY)−1⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢XHYH⎤⎦⎥⎥⎥
=X(XHX)−1XH.

1 存在、性質、構造

若 A∈C

定義

Moore-Penrose 逆 A+ 的四個等價定義：

（1）定義一：Penrose 方程 (i) AXA=A；(ii) XAX=X；(iii) (AX)H=AX；(iv) (XA)H=XA；
（2）定義二：AX=PR(A),XA=PR(X)，其中 PL 是子空間 L 上的正交投影矩陣；
（3）定義三：AXA=A,X=AHU,X=VAH，其中 U,V 是適當階的復矩陣；
（4）定義四：AXA=A,X=AHZAH，其中 Z 是與 A 同階的復矩陣。

滿足部分 Penrose 條件的廣義逆及其構造：

（1）A{i,j,