演算法第四版學習（chapter1.1）
這是我個人真正意義上的第一篇blog，今天我來講一下，我在這個暑假學習的一本書，演算法（第四版）。
第一章主要講述了一些標準工具的用法，這本書提供了一個標準庫，我們可以在他的網上下載下來，或者我這裡也可以
連結: https://pan.baidu.com/s/1Y89qdn5SWQ3KQfiF08ruPw 密碼: xsc7
我所遇到的難題：
1.1.25：使用數學歸納法證明歐幾里得演算法可以計算任意一對非負整數p和q的最大公約數
//歐幾里得演算法的java實現 public static int gcd(int p,int q){ if(q==0) return p; int r = p%q; return gcd(q,r); }
其實歐幾里得演算法也可以叫做輾轉相除
我們可以先分析一下這個演算法，想要這個演算法通過，我們要證明
當p%q=r
gcd(p,q)=gcd(q,r)
因為p%q=r，所以p=q*k+r(k為自然數）
我們設p和q的公約數為d，則p可以表示為d*i1，卻可以表示為d*i2（i1，i2均為正整數）
得d*i1=d*i2*k+r—>r=d*(i1-i2*k),所以在該情況下r和q的公約數也是d
由於d並不是單指其中一個，在所有情況下，皆能使r=d*(i1-i2*k)
所以我們能說gcd(p,q)=gcd(q,r).
鄙人的證明若有問題，歡迎指出。
1.1.27 ：二態分佈。估計用一下程式碼計算（100,50，0.25）將會產生的遞迴呼叫次數：
我們先來講一下二態分佈公式的原理，二態公式其實就是一種統計學手法，binomial（n,k,p）n是獨立個體的個數，k是需要被選上的個體，p是被選上的機率。b（n,k,p）=(1-p)*b(n-1,k,p)+p*b(n-1,k-1,p)的意思其實是n個人裡面選k個，p是被選上的概率，有兩個方向：①沒選上概率1-p，等待被選人數減一，需要選的人數不變②被選上了概率p，等待被選人數減一，需要選的人數-1，以此類推最後得出的結果其實是，當人被挑選的概率為p，在n個人裡面選剛好k個人的機率。
我一開始失了智，還想測一下執行時長，果然這種不要命的遞迴測不得，編譯器都崩掉了。
long l = System.currentTimeMillis(); System.out.println("開始"+l); double binomial = day02.binomial(100, 50, 0.25); long l1=System.currentTimeMillis(); System.out.println(binomial+"--耗時"+(l1-l)); public static double binomial(int N,int k,double p){ if(N == 0 && k==0) return 1.0; if(N<0 || k<0) return 0.0; return (1.0-p)*binomial(N-1,k,p)+p*binomial(N-1,k-1,p); }
其實我們不難發現可以將它遞迴過程總結成公式b（N,k）=b(N-1,k)+b(N-1,k-1）,那個p不影響遞迴，先不考慮，每次由一個式子進行兩次遞迴，遞迴後N-1，k不變或-1，當N，k都為0，或其一小於0就結束，由N來影響一共會有多少層遞迴呼叫，該題目N為100，N由100到99，呼叫兩次遞迴，產生兩個式子，這兩個式子也進行遞迴，各分成兩個，先不考慮k，當N從100到0，會有2++
。。+
，約為1.26*
，現在來考慮k，k來決定那些式子提前結束遞迴（說明一個道理，當需要的k個人被選完了，N多少都不管用了，減掉選人-k分支，不選人的k不變的分支可以繼續往下走），這個我就不太會算了大概就是，等大佬來教，知道遞迴為什麼會炸了吧，這每次遞迴往下索值，這款記憶體並不會釋放，等會計算機就記憶體溢位了，或者直接崩掉。
現在來說一下怎麼去開進這個演算法，既然遞迴會炸，我們就不用遞迴了，改用迴圈來求，先給出我的程式碼。
public class day03 {
public static double binomial(int N,int k,double p){
//先定義一個數組，來儲存計算資料
double[][] array=new double[N+1][k+1];
//array[0][0]的意思是，有0個人供你選擇，從其總選中0個人的概率，那就必定是1啦
array[0][0]=1.0;
//現將從頭到尾都不選的這一列都給上值，而都選是不可能的，所以不初始化了
for(int i=1;i<N+1;i++){
array[i][0]=array[i-1][0]*(1-p);
}
//我來解釋一下這一段，先是逐層往下計算，因為這個問題有明顯的上下層關係
//j在遍歷過程中不能大於能被選的人數，不能大於需要被選的人數，減少一些多餘的分支
// array[i][j]就是有i個人選j個人的機率，有兩種情況可以達成，i-1人選j人後不選，i-1人選j-1人後選一個
for(int i=1;i<N+1;i++){
for(int j=1;j<N+1&&j<k+1;j++){
array[i][j]=(1-p)*array[i-1][j]+p*array[i-1][j-1];
}
}
//最後返回需要的情況的機率
return array[N][k];
}
}
1.1.28：陣列去重，方法太多了，不打算寫，什麼排序後set，什麼Arraylist的方法indexof檢查是否在Arraylist裡，再做新增，blablabla。。。
1.1.30：呼叫gcd，好吧，查最大公因子是不是1，沒什麼好說的了。
1.1.31：隨機連線，上程式碼吧，為了看起來至觀，我把不同的線分層了。
public static void randomLine(int N,double p){
StdDraw.setXscale(0,N);
StdDraw.setYscale(0,N*N);
double count=0.0;
for(int i=0;i<N+1;i++){
for(int j=i+1;j<N+1;j++){
if(StdRandom.random()<p){
StdDraw.line(i*0.5,count*4,j*0.5,count*4);
count+=0.5;
}
}
}
}
大概長這個樣子吧。
1.1.35：骰子問題：呼叫StdRandom生成一些隨機數就好了，沒什麼難度。
public static void dice(int i) {
DecimalFormat df = new DecimalFormat("######0.000");
int N = 10;
double count = 0;
boolean flag = true;
for(int j=1;j<=6;j++){
for(int k=1;k<=6;k++){
if(k+j==i){
count++;
}
}
}
double rate=count/36.0;
System.out.println(df.format(rate));
while (flag) {
count=0.0;
int x = N;
while (x-- > 0) {
int a = (int) (StdRandom.uniform(1, 6 + 1));
int b = (int) (StdRandom.uniform(1, 6 + 1));
if (a + b == i) {
count++;
//System.out.println(a + " " + b);
}
}
double rate1=count / (double) N;
if(df.format(rate1).equals(df.format(rate))){
System.out.println("find it"+N);
flag=false;
}else{
System.out.println(N+"--"+df.format(rate1)+"--"+df.format(rate));
N*=10;
}
}
}1.1.39隨機匹配：
public static void match(int T) {
int t=T;
int count3 = 0;
int count4 = 0;
int count5 = 0;
int count6 = 0;
ArrayList arrayList = new ArrayList();
int[] q3=new int[1000];
int[] q4=new int[10000];
int[] q5=new int[100000];
int[] q6=new int[1000000];
while (t-- > 0) {
for (int i = 0; i < 1000; i++) {
int a = StdRandom.uniform(1000000, 10000000);
q3[i]=a;
}
Arrays.sort(q3);
for (int i = 0; i < 1000; i++) {
int b = StdRandom.uniform(1000000, 10000000);
if(day02.sort(q3,b)>-1){
count3++;
}
}
System.out.println("go");
arrayList.clear();
for (int i = 0; i < 10000; i++) {
int a = StdRandom.uniform(1000000, 10000000);
q4[i]=a;
}
for (int i = 0; i < 10000; i++) {
int b = StdRandom.uniform(1000000, 10000000);
if(day02.sort(q4,b)>-1){
count4++;
}
}
arrayList.clear();
for (int i = 0; i < 100000; i++) {
int a = StdRandom.uniform(1000000, 10000000);
q5[i]=a;
}
for (int i = 0; i < 100000; i++) {
int b = StdRandom.uniform(1000000, 10000000);
if(day02.sort(q5,b)>-1){
count5++;
}
}
arrayList.clear();
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
int a = StdRandom.uniform(1000000, 10000000);
q6[i]=a;
}
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
int b = StdRandom.uniform(1000000, 10000000);
if(day02.sort(q6,b)>-1){
count6++;
}
}
}
System.out.println("10的三次方平均數"+count3/T);
System.out.println("10的四次方平均數"+count4/T);
System.out.println("10的五次方平均數"+count5/T);
System.out.println("10的六次方平均數"+count6/T);
}這一塊的學習就先到此為止了，有不太明白的各位，可以在下面留言問我，我會盡快回答