複數的引入

追根求源，最初是為了求解沒有實數根的二次方程。例如求解

x2+1=0$$x^2+1=0$$
這個由實陣列成的方程，顯然沒有實數根。
所以複數集可以看成實數集合的一個自然擴充。
首先引入一個“新數”i$i$。使它滿足
i2=−1$$i^2=-1$$
也就是說i$i$是x2+1=0$$x^2+1=0$$
的解。
我們再給複數定義：
形如z=a+bi$z=a+bi$的數就是複數。
其中a$a$和b$b$分別叫做複數z$z$的實部和虛部。
注意，b$b$才是虛部，bi$bi$不是虛部。
記作：a=Re(z),b=Im(z)$$a=Re(z),b=Im(z)$$

複數z=a+bi$z=a+bi$的分類

當虛部b=0$b=0$時，複數z$z$是實數；
當虛部

b!=0$b!=0$時，複數z$z$是虛數；
當虛部b!=0$b!=0$，且實部a=0$a=0$時，複數z$z$是純虛數。

一些集合的記號

R——實數集，C——復數集$$R——實數集，C——復數集$$
P——虛數集，Q——純虛數集$$P——虛數集，Q——純虛數集$$
有下列關係：
R∩P=ϕ$$R\cap P=\varphi$$
R∪P=C$$R\cup P=C$$
Q⊊P⊊C$$Q⊊P⊊C$$

複數相等的充分必要條件

設兩個複數分別為z1=a+bi$z_1=a+bi$,z2=c+di$z_2=c+di$，而二者相等的充分必要條件是a=c$a=c$而且b=d$b=d$。

化虛為實是複數問題的通性通法

複數的運演算法則

對於兩個複數z1=a+bi$z_1=a+bi$，z2=c+

di$z_2=c+di$
z1+z2=(a+c)+(b+d)i$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$
z1−z2=(a−c)+(b−d)i$z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$
z1×z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i$z_1\times z_2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$