影象處理特徵不變運算元系列之Harris運算元（二）
在前面的博文中，介紹了Moravec運算元，並對moravec運算元的不足也進行了簡單的描述，具體請參考：影象處理特徵運算元系列之Moravec運算元（一）。Harris運算元針對Moravec運算元的不足，提出了以下的改進：
1）Moravec運算元各向異性響應（Anisotropic Response of Operator）
Moravec運算元僅僅在8個方向（水平、垂直和四個對角方向）計算灰度變化，為了對其擴充套件，有必要設計一個可以在任何方向對灰度變化進行測度的函式。1988年，Harris和Stephen通過對Moravec運算元進行展開，推導得到了Plessey運算元，也即Harris運算元。
我們先來看看與Harris相關的背景知識。通常，Prewitt運算元被用來對影象的梯度進行近似。然而，在實際應用中，一階梯度通過下圖中的公式來進行近似：
對Morevec運算元（如果對Moravec運算元也不清楚的地方，請參考博主前一篇對Morevec運算元的講解）進行分析可以得到：Two Morevec windows中對應畫素差的和可以作為影象梯度的合理近似。我們再來看下圖：
通過對上圖的分析，我們有可以進一步得到：morevec運算元中的灰度變化可以採用影象梯度進行近似。
通過上面的分析，灰度的變化可以表示為影象梯度的函式，公式表示如下：
其中，（u,v)表示滑動，x方向為（1,0），y方向為（0,1），微分的計算如上圖所示。
到這裡，大家非常明瞭：上式可以對moravec運算元中的灰度變化計算進行精確的逼近。但是又與Moravec運算元中灰度變化不同的是通過合理的選擇（u，v）可以對任何方向的灰度變化進行測度。
2）噪聲響應 （Noise Response）
在Moravec運算元中，滑動窗採用的是方形的（square window），方形窗使得不同方向上的中心畫素與邊界畫素的歐式距離是變化的。為了克服這個問題，Harris&Stephen提出只需將方向窗改成圓窗（circle window）。同時，窗中的每個畫素是同等地位的，理論上應該是離中心越近的權重越大，而離中心越遠，權重越小，因此我們加入高斯權重。因此，灰度變化的新測度方式可以通過下圖來表示：
通過公式表示如下：
其中，wi表示位置i處的高斯權重。
3）邊緣的強響應（Large Response of Edge）
因為Moravec運算元在邊緣處很容易出現誤檢，Harris&Stephen通過考慮不同方向的灰度度量形成新的角度性測度（cornerness measure）。接著，我們對上面的式子進行變換，如下式：
Harris&Stephen同時也注意到，上式可以寫成：
對上面的矩陣M，其特徵值與影象表面的主曲率是成正比的，並且形成了對M的旋轉不變的描述（Proportional to the principle curvature of the image surface and form a rotationally invariant description of M）。然後，由於M是通過水平和垂直方向的梯度來近似的，他們不是真正的旋轉不變。
同樣，與Moravec運算元一樣，我們再來看下面的四張張圖：
圖中A表示在一個物體的內部或背景上，視窗內的灰度值相對不變，因此該視窗表面上幾乎沒有曲率，因此M的特徵值相對很小；B視窗在一個邊緣處，垂直於邊緣的地方將有明顯很大的曲率，而平行於邊緣的地方几乎沒什麼曲率，因此該形式下M的特徵值一個會比較大，另一個較小；C和D對應於角度和離散點，在兩個方向都會有很大的曲率，因此，M的特徵值都將會很大。假設r1和r2是M的兩個特徵值，通過上面的分析，可以將一個平面表示為以下三個可區分的區域：
Harris&Stephen提出下面的角點性測度（cornerness measure）
:
k一般取值04~0.6。
最後，我們來總結下Harris運算元的計算步驟：
（ 1）對每一個畫素計算自相關矩陣M
（2）構造角點性對映圖（Construct cornerness map）
（3）閾值化，對得到的C(x,y)進行閾值
（4）非極大值抑制
總結：Harris運算元針對Moravec運算元的不足進行了改進，提高了特徵點的檢測率以及Repeatability。但是，Harris運算元計算量大，對尺度很敏感，不具有尺度不變形；另外Harris對特徵點的定位也不是很精確，而且Harris也是各向異性的，對噪聲敏感。