求10000以內質數（以前都是直接打表，現在問到怎麼求，瞬間詞窮了，還是應該搞懂）
阿新 • • 發佈：2019-01-10
對於求10000以內質數，首先先考慮這個確定性範圍的問題，後面再考慮複雜的。
前言摘抄：素數是除了1和它本身之外再不能被其他數整除的自然數。由於找不到一個通項公式來表示所有的素數，所以對於數學家來說， 素數一直是一個未解之謎。像著名的 哥德巴赫猜想、孿生素數猜想，幾百年來不知吸引了世界上多少優秀的數學家。儘管他們苦心鑽研，嘔心瀝血，但至今仍然未見分曉。
自從有了計算機之後，人們藉助於計算機的威力，已經找到了2216091以內的所有素數。
求素數的方法有很多種，最簡單的方法是根據素數的定義來求。對於一個自然數N，用大於1小於N的各個自然數都去除一下N，如果都除不盡，則N為素數，否則N為合數。
但是，如果用素數定義的方法來編制計算機程式，它的效率一定是非常低的，因為其中很多次有重複判定，而且某些值可以跳過，其中有許多地方都值得改進。
第一，對於一個自然數N，只要能被一個非1非自身的數整除，它就肯定不是素數，所以不
必再用其他的數去除。
第二，對於N來說，只需用小於N的素數去除就可以了。例如，如果N能被15整除，實際
上就能被3和5整除，如果N不能被3和5整除，那麼N也決不會被15整除。
第三，對於N來說，不必用從2到N一1的所有素數去除，只需用小於等於√N(根號N)的所有素數去除就可以了。這一點可以用反證法來證明：
如果N是合數，則一定存在大於1小於N的整數d1和d2，使得N=d1×d2。
如果d1和d2均大於√N，則有：N＝d1×d2>√N×√N＝N。
而這是不可能的，所以，d1和d2中必有一個小於或等於√N。
基於上述分析，設計演算法如下：
(1)用2，3，5，7逐個試除N的方法求出100以內的所有素數。(複雜度降低的n多。。。)
(2)用100以內的所有素數逐個試除的方法求出10000以內的素數。
首先，將2，3，5，7分別存放在a[1]、a[2]、a[3]、a[4]中，以後每求出一個素數，只要不大於100，就依次存放在A陣列中的一個單元 中。可以求出100以內有25個質數；當我們求100—10000之間的素數時，可依次用a[1]－a[25]的素數去試除N，這個範圍內的素數可以不儲存，直接列印。
程式碼：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <iomanip> using namespace std; int a[30]; // 用於存放100以內的質數 int j = 5; int line = 0; // 先求出100以內的質數，輸出並存儲。 void solve100() { for (int i = 11; i < 100; i++) { if (i % a[2] && i % a[3] && i % a[4] && i % a[5]) { a[++j] = i; if (line % 10 == 0) { cout << endl; } cout << setw(5) << i; line++; } } } // 判斷並輸出100~10000的質數 void solve10000() { for (int i = 101; i < 10000; i++) { bool flag = true; for (int k = 2; k <= j; k++) { if (i % a[k] == 0) { flag = false; break; } } if (flag) { if (line % 10 == 0) { cout << endl; } cout << setw(5) << i; line++; } } } int main() { // 先直接輸出10以內的質數 a[0] = 0; a[1] = 1, a[2] = 2, a[3] = 3, a[4] = 5, a[5] = 7; cout << setw(5) << a[2]; cout << setw(5) << a[3]; cout << setw(5) << a[4]; cout << setw(5) << a[5]; line = 4; solve100(); solve10000(); cout << "\n10000以內質數個數為: " << line<< endl; return 0; } /* 輸出 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 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算出的結果和質數定理算出的1229個質數相同，可自行驗證。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
上面簡單介紹了10000以內質數的一個求解方法，下面說兩個數學上的方法：
用篩法求素數。
簡單介紹一下厄拉多塞篩法。厄拉多塞是一位古希臘數學家，他在尋找素數時，採用了一種與眾不同的方法：先將2－N的各數寫在紙上：
在2的上面畫一個圓圈，然後劃去2的其他倍數；第一個既未畫圈又沒有被劃去的數是3，將它畫圈，再劃去3的其他倍數；現在既未畫圈又沒有被劃去的第一個數 是5，將它畫圈，並劃去5的其他倍數……依次類推，一直到所有小於或等於N的各數都畫了圈或劃去為止。這時，表中畫了圈的以及未劃去的那些數正好就是小於
N的素數。
這很像一面篩子，把滿足條件的數留下來，把不滿足條件的數篩掉。由於這種方法是厄拉多塞首先發明的，所以，後人就把這種方法稱作厄拉多塞篩法。
在計算機中，篩法可以用給陣列單元置零的方法來實現。具體來說就是：首先開一個數組：a[i]，i=1，2，3，…，同時，令所有的陣列元素都等於下標 值，即a[i]=i，當i不是素數時，令a[i]=0 。當輸出結果時，只要判斷a[i]是否等於零即可，如果a[i]=0，則令i=i+1，檢查下一個a[i]。
篩法是計算機程式設計中常用的演算法之一。
借用一張圖來演示：
程式碼：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
using namespace std;
int a[10005];
void init()
{
for (int i = 0; i <= 10000; i++) {
a[i] = i;
}
}
void solve()
{
for (int i = 2; i <= 10000; i++) {
while (a[i] == 0) {
i++;
}
for (int k = 2, j = k * i; j <= 10000; j = (++k) * i) {
a[j] = 0;
}
}
}
void printAns()
{
int line = 0;
for (int i = 2; i < 10000; i++) {
while (a[i] == 0) {
i++;
}
if (i >= 10000) {
break;
}
if (line != 0 && line % 10 == 0) {
cout << endl;
}
cout << setw(5) << i;
line++;
}
cout << "\n10000以內的質數個數為：" << line << endl;
}
int main()
{
init();
solve();
printAns();
return 0;
}
用6N±1法求素數。
任何一個自然數，總可以表示成為如下的形式之一：
6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)
顯然，當N≥1時，6N，6N+2，6N+3，6N+4都不是素數，只有形如6N+1和6N+5的自然數有可能是素數。所以，除了2和3之外，所有的素數都可以表示成6N±1的形式(N為自然數)。
根據上述分析，我們可以構造另一面篩子，只對形如6 N±1的自然數進行篩選，這樣就可以大大減少篩選的次數，從而進一步提高程式的執行效率和速度。
在程式上，我們可以用一個二重迴圈實現這一點，外迴圈i按3的倍數遞增，內迴圈j為0－1的迴圈，則2(i+j)-1恰好就是形如6N±1的自然數。