斐波那契數列：1,2,3,5,8,13......

齊肯多夫定理：任何正整數都可以唯一地表示成若干個不連續的斐波那契數之和。

首先，存在性。

在上面的百科連結裡面，有數學歸納法的證明。

然後，唯一性。

可以用反證法加上無窮遞降法證明出來。

假設n是最小的有2種表示法的整數，其中一種表示中，最大的數是a,另外一種表述中，最大的數是b。

這裡需要一個簡單的結論：

引理：如果m是斐波那契數，那麼不超過m的所有斐波那契數中，選出若干個不連續的，能夠得到的最大的和剛好就是m-1

比如說，在1,2,3,5,8,裡面，最大的和就是1+3+8=12，剛好是13-1。

無論m是第奇數個斐波那契數，還是第偶數個，都是一樣的，證明很簡單，略。

所以，根據這個引理，a和b只能相等。

因為這是2種不同的表示法，所以n一定要比a大。

那麼n-a就有2種不同的表示法，即將上面的2個不同的表示法裡面刪掉相同的數a、b，得到的自然是不同的表示法。

這個，n-a小於n，與n的最小性矛盾！

所以，表示法是唯一的。

在斐波那契博弈裡面，用的就是這個定理。