Given n non-negative integers representing the histogram's bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.

Above is a histogram where width of each bar is 1, given height = [2,1,5,6,2,3].

The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area = 10

For example,
Given height = [2,1,5,6,2,3],
return 10.

O(n^2):

Judge Small: Accepted!
Judge Large: Time Limit Exceeded

1. int largestRectangleArea(vector<int> &height) {  
2.         // Start typing your C/C++ solution below
3.         // DO NOT write int main() function
4.         int end = height.size();  
5.         int begin = 0;  
6.         int largestarea = 0;  
7.         for(int i = begin; i < end; ++i)  
8.         {  
9.             int area;  
10.             int high = height[i];  
11.             for(int j = i; j < end; ++j){  
12.                 if(height[j] < high) high = height[j];  
13.                 area = (j - i + 1)*high;  
14.                 if(area > largestarea) largestarea = area;  
15.             }  
16.         }  
17.         return largestarea;  
18.     }  

O(n):

Judge Small: Accepted!
Judge Large:Accepted!

1. class Solution {  
2. public:  
3.     int Max(int a, int b){return a > b ? a : b;}  
4.     int largestRectangleArea(vector<int> &height) {  
5.         height.push_back(0);  
6.         stack<int> stk;  
7.         int i = 0;  
8.         int maxArea = 0;  
9.         while(i < height.size()){  
10.             if(stk.empty() || height[stk.top()] <= height[i]){  
11.                 stk.push(i++);  
12.             }else {  
13.                 int t = stk.top();  
14.                 stk.pop();  
15.                 maxArea = Max(maxArea, height[t] * (stk.empty() ? i : i - stk.top() - 1));  
16.             }  
17.         }  
18.         return maxArea;  
19.     }  
20. };  

就用題目中的[2,1,5,6,2,3]來解釋一下這段程式碼吧。

首先，如果棧是空的，那麼索引i入棧。那麼第一個i=0就進去吧。注意棧內儲存的是索引，不是高度。然後i++。

然後繼續，當i=1的時候，發現h[i]小於了棧內的元素，於是出棧。（由此可以想到，哦，看來stack裡面只存放height單調遞增的索引）

這時候stack為空，所以面積的計算是h[t] * i。t是剛剛彈出的stack頂元素。也就是藍色部分的面積。

繼續。這時候stack為空了，繼續入棧。注意到只要是連續遞增的序列，我們都要keep pushing，直到我們遇到了i=4，h[i]=2小於了棧頂的元素。

這時候開始計算矩形面積。首先彈出棧頂元素，t=3。即下圖綠色部分。

接下來注意到棧頂的（索引指向的）元素還是大於當前i指向的元素，於是出棧，並繼續計算面積，粉色部分。

最後，棧頂的（索引指向的）元素小於了當前i指向的元素，迴圈繼續，入棧並推動i前進。直到我們再次遇到下降的元素，也就是我們最後人為新增的dummy元素0.

同理，我們計算棧內的面積。由於當前i是最小元素，所以所有的棧內元素都要被彈出並參與面積計算。

注意我們在計算面積的時候已經更新過了maxArea。

總結下，我們可以看到，stack中總是保持遞增的元素的索引，然後當遇到較小的元素後，依次出棧並計算棧中bar能圍成的面積，直到棧中元素小於當前元素。

可以這樣理解這個演算法，看下圖。

例如我們遇到最後遇到一個遞減的bar（紅色）。高度位於紅線上方的（也就是演算法中棧裡面大於最右bar的）元素，他們是不可能和最右邊的較小高度bar圍成一個比大於在彈棧過程中的矩形面積了（黃色面積），因為紅色的bar對他們來說是一個短板，和紅色bar能圍成的最大面積也就是紅色的高度乘以這些“上流社會”所跨越的索引範圍。但是“上流社會”的高度個個都比紅色bar大，他們完全只計算彼此之間圍成的面積就遠遠大於和紅色bar圍成的任意麵積了。所以紅色bar是不可能參與“上流社會”的bar的圍城的。因為雖然長度不佔優勢，但是團結的力量是無窮的。它還可以參與“比較遠的”比它還要屌絲的bar的圍城。他們的面積是有可能超過上流社會的面積的，因為距離啊！所以彈棧到比紅色bar小就停止了。

另外一個細節需要注意的是，彈棧過程中面積的計算。

h[t] * (stack.empty() ? i : i - stack.top() - 1)

h[t]是剛剛彈出的棧頂端元素。此時的面積計算是h[t]和前面的“上流社會”能圍成的最大面積。這時候要注意哦，棧內索引指向的元素都是比h[t]小的，如果h[t]是目前最小的，那麼棧內就是空哦。而在目前棧頂元素和h[t]之間（不包括h[t]和棧頂元素），都是大於他們兩者的。如下圖所示：

那h[t]無疑就是Stack.top()和t之間那些上流社會的短板啦，而它們的跨越就是i - Stack.top() - 1。

所以說，這個彈棧的過程也是維持程式不變數的方法啊：棧內元素一定是要比當前i指向的元素小的。