簡介

• 在圖論中，最短路是十分重要的一部分，在很多問題中都有涉及

• 而現在所講的 SPFA 演算法是十分優秀的演算法，時間複雜度為 O(k∗E)

• 其中 E 是圖的邊數，而 k 是一個常數，一般極小。

• 事實上 SPFA 就是在 Bellman-ford 演算法的基礎上加上一個佇列優化，減少了冗餘的鬆弛操作，是一種高效的最短路演算法。

• 而且 SPFA 還能判負環，這種情況下類似 Dijkstra 演算法等便沒有了用武之地！

用法

• 在佇列中進行，在點出隊入隊中更新值

• SPFA演算法（BFS）模板如下：

void spfa_bfs(int st)
{
    memset(dis,60,sizeof(dis));
    memset(bz,false
 
,sizeof(bz));
    int l=0,r=1;
    dis[que[1]=st]=0;
    while(l<r)
    {
        int now=que[++l];
        bz[now]=false;
        for(int i=first[now];i;i=next[i])
            if(dis[now]+w[i]<dis[en[i]])
            {
                dis[en[i]]=dis[now]+w[i];
                if(!bz[en[i]]) bz[que[++r]=en[i]]=true
 
;
            }
    }
    return false;
}

• 註釋：其中 que[] 為佇列，dis[] 為點到源點距離，l，r 分別左右指標，bz[] 為標誌->點是否入隊。

• SPFA演算法（DFS）模板如下：

void spfa_dfs(int x)
{
    bz[x]=true;
    for(int i=first[x];i;i=next[i])
        if(dis[now]+w[i]<dis[en[i]])
        {
            dis[en[i]]=dis[now]+w[i];
            if
 
(!bz[en[i]]]) spfa(en[i]);
        }
    bz[x]=false;
}  

判負環

• SPFA演算法還有一個大優點是可以判負環

• 利用 SPFA 演算法判斷負環有兩種方法：

  1. SPFA演算法 的 dfs 形式，判斷條件是 存在一點在一條路徑上出現多次。
  2. SPFA演算法 的 bfs 形式，判斷條件是 存在一點入隊次數大於總頂點數。

總結

• SPFA演算法效率高，實用性強，是很有用的演算法！