2016/9/18

花了一週時間看完了《數學與人類思維》，作者站在一個巨集觀的角度取看待數學的各個方面，這本小冊子把數學這個學科以及數學家這個群體是做什麼的介紹的還算清楚。值得一讀的一本書。
接下來就談談我關於數學以及思維的一些思考（一些想法很早就有了，記錄下來以免遺忘）。

一.數學的形式化與結構化

這本書的主幹是對數學形式化和結構化（概念化）的探討。形式化是建立在嚴格的邏輯推理和一系列基本公理的基礎上，可以用機械的方法推匯出數學的各個定理與結論。理論上，數學中的各個定理都可以通過形式化的方式得到，但這樣必然會使得推導過程變得很長和難以理解。很少有人會喜歡這樣的證明方式，我們在用勾股定理的時候沒必要每次都去證明一下它的正確性。在數學的發展過程中有大量的結論（或者說正確的命題）出現，有一些結論被人們擴充到人類知識庫中，而一些結論則沒這麼幸運。由此產生一個有趣的問題，哪些結論才會被人們記住呢，或者說數學之樹的枝芽是在像什麼方向伸展？數學發展到今天到底是一種必然的結果還是被歷史中的一些偶然因素改變了命運的軌跡?一種觀點是那些有用、有趣的結論，這些結論經常被用到從而將它命名為一條定理。而有些定理並不是那麼有用但依然為大家熟知，比如費馬大定理，費馬大定理之所以如此受大家關注主要因為這條定理如此簡潔但證明並不簡單。為什麼簡單的定理具有不簡單的證明過程這一點也是很值得思考的，這裡簡單提一下，從資訊的觀點來看，是否可以把定理看作對證明過程的壓縮？數學的結構化還體現在一些定義和概念上，人腦不同於計算機，人腦不善於處理冗長的資訊，因此我們需要一些定義和概念來輔助我們理解，通過這些概念和定義我們能更好的理解和處理問題。其實這也是一種模組化的思維，不僅在數學，在很多領域都有這樣的例子。比如軟體開發，在開發軟體的時候我們不用每次都從底層開始寫起，有很多東西是已經封裝好的直接拿來用就可以了，就像樂高一樣，組裝好一個小人之後就可已將他作為一個整體和別的部件進行組合。
好的概念能幫助我們更好的理解問題後解決問題，比如集合、群這些數學概念的發明，通過這些概念引入了一套理論體系，在這套理論體系的基礎上我們得以更好的處理問題，而不用去管這套理論體系為什麼是對的。

二.數學中定理的證明

對於數學中的一些定理我們總是希望找到簡潔的證明，我們認為簡潔的是美的。我們怎麼知道一條定理是否存在更為簡潔的證明呢？也許我們永遠也無法知道，一個事實是現代數學中經常會出現極其複雜的證明，一個證明幾十頁也是常見的。以前經常會有人聲稱自己證明了費馬大定理，向相關委員會的投稿也是一疊疊的，這些證明檢查起來也是十分繁瑣的工作。有些地方的小錯誤可能會導致整個證明的失敗。現代數學的證明有時候也會用計算機來輔助，比如著名的四色定理。那麼能否用計算機通過形式化的方式來證明定理呢，在一套公理系統與邏輯規則下，理論上將我們可以通過搜尋所有的組合來找到正確的命題，但這樣的複雜度是很高的，還有需要注意到有些命題是無法被證明或證偽的。

三.數學的裂縫

哥德爾不完備性定理殘酷地指出了數學中的一個讓人難以接受的事實，不存在完備的數學系統。我認為哥德爾不完備性定理之於數學就如海森堡不確定性原理之於物理。實際上這兩條定理或原理對數學物理學家實際的工作的影響也不是特別大，但提出這兩者確實是很令人震驚的。在牛頓的決定論時代，物理學家認為科學的大廈已經建成，剩下的只是一些修修補補的工作。然而不確定性原理讓決定論的夢破滅了。哥德爾同樣也讓數學體系完備的夢破滅了，人們逐漸認識到科學的某些角落是我們永遠也不發觸碰到的，多麼悲傷的事實啊（我忍不住發出一聲感慨“哦，上帝啊，你這是在和我們開玩笑嗎？”）。

四.數學創造性與思維

創造性是什麼，數學中的創造性又體現在什麼地方呢？在這裡我非正式地將創造性定義為產生有價值或有趣的新事物的能力，那麼這樣數學中的創造性可以近似的看成提出有用或有趣的定理。既然將創造性定義為一種能力，我們可能會問這種能力是與生俱來的還是後天獲得的呢？小時候我們應該都聽過這樣的故事，阿基米德在洗澡的時候發現了測物體密度的方法，牛頓被蘋果砸中腦袋後發現了萬有引力定律。其實這樣的例子是很有誤導性的，人們傾向於認為這些人天生與眾不同才會有這些重的大的發現（不過可能確實是有天賦的因素）。人們可能會想為什麼我洗澡的時候沒有發現呢，他們把這裡的因果關係弄錯了，不是因為被蘋果砸中導致發現萬有引力定律的，在被砸中之前一些想法就在他們腦子裡面醞釀了（有意識或無意識），蘋果只是觸發了最終結果的產生，我相信即使牛頓不被蘋果砸中也會提出萬有引力定律的。還有一些有趣的科學發現是在睡覺過程中產生的，比如凱庫勒對苯分子環狀結構的闡述。思維並不只是有意識的過程，潛意識同樣可以產生思維，有意識其實只是冰山一角，大腦裡進行著大量的運算，但我們意識到的只是一部分結果。這裡闡述一下我對思維的理解（未必是準確的，但應該會有啟發性）。先用一句話來概括：思維是一個不斷湧現的過程。湧現這個詞在太多地方都有出現，但我覺得用這個詞語的解釋性並不是太強，帶有一點玄學意味。更多的是在對現象進行描述而不是解釋，就好像是在說”對，思維就那麼就產生了”。但由於我們對思維過程的瞭解本來就很侷限，所以就只能用這個模糊的詞語了。那麼思維是怎麼湧現出來的呢？抽象一點來看，大腦中包含著很多的概念和知識，這些概念知識相互交錯形成一張巨大的網路，這些概念相互作用與組合形成一種淺層次的思維，這種淺層次思維再以一種類似的方式形成更高階的思維，最終傳入大腦直譯器的那些資訊就是被我們意識到的部分，是有意識的思維。這裡就粗淺的把高深莫測的湧現行為理解為是概念的相互作用與組合吧。有點偏題了，接著說一下在解決數學問題時的思維過程，遇到一個問題時，首先我們遇到的是問題的描述和一些概念，對於這些概念組合我們大腦可能會冒（湧現）出這個問題所屬的型別上去，或者說定位到它所屬的型別上去（但”定位”這個詞有有點機械化）。舉個例子，一道題中有著這樣的描述“…角ABC等於角PQR…”我們很可能就把它定位到幾何學的範疇或者繼續細分到更小的子區域，整個呈現一種類似樹狀的結構，整個過程可以看成是一種啟發式搜尋。然後我們大腦中對幾何的相關知識就冒了出來，比如“兩條直線相交對頂角相等”、“同角的補角相等”等等，大腦再從這些知識中不斷的嘗試比較有可能解決問題的知識組合結合問題看能否將問題解決。

五.回到結構性上去

前面第一小節中提到了數學中有用的或有趣的問題在歷史的河流中被沉澱下來，順便說一下，對於任何學科我們都應該從一種發展的角度去看待，它的知識結構並不是一成不變的，大多數大學都會設定微積分、線性代數、概率論這些課程是因為這些部分在目前看來是有用的，並且被普遍認為是數學的主幹知識，回到幾百年前幾何學可能會佔據數學的主要研究領域。
數學是在發展的，但用上面提到的有用和有趣還是不足以解釋數學發展的方向性問題。這裡提出一個觀點：特定的理論只有在特定的知識體系下才會產生，沒有一些基礎知識儲備是很難孕育出新的思想的。我覺得比較有趣的一點是，數學學科的發展和個人思維的過程是可以類比的，只是尺度和層次上的不同，但其中蘊含這相似的組織形式（很多地方都有這樣的例子，人腦與社會，生長髮育與生態系統的演替，我覺得其中必然隱含著上帝的某些隱喻）。可以粗略的概括為知識的擴散，就像一滴墨水滴到水裡所發生的運動一樣，墨水不會突然從滴的位置瞬移到很遠的地方去，知識也是這樣，在建立算數基本理論之前是不會發展出微積分的，知識體系可以類比成我們的大腦，各個知識就是腦中的各種概念，知識的相互作用類似與腦中概念的相互作用，前者產生新的知識，後者孕育新的想法。所以我認為把知識體系結構發展比喻成一棵樹的生長髮育是在恰當不過了。但這樣並不是說數學的發展像決定論那樣機械的執行，其中還是會有機遇與巧合，有些東西遲遲未出現可能知識時間問題，而像牛頓、愛因斯坦這樣的偉人無疑是加快了科學的發展。最後，知識就像樹上的果實，你永遠也不知道接下來哪條枝芽上會結出新的果實。