動態規劃法

經常會遇到複雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題。簡單地採用把大問題分解成子問題，並綜合子問題的解匯出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規模呈冪級數增加。

為了節約重複求相同子問題的時間，引入一個數組，不管它們是否對最終解有用，把所有子問題的解存於該陣列中，這就是動態規劃法所採用的基本方法。

【問題】 求兩字元序列的最長公共字元子序列

問題描述：字元序列的子序列是指從給定字元序列中隨意地（不一定連續）去掉若干個字元（可能一個也不去掉）後所形成的字元序列。令給定的字元序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X

考慮最長公共子序列問題如何分解成子問題，設A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，並Z=“z0，z1，…，zk-1”為它們的最長公共子序列。不難證明有以下性質：

（1） 如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，蘊涵“z0

（3） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，蘊涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一個最長公共子序列。

這樣，在找A和B的公共子序列時，如有am-1=bn-1，則進一步解決一個子問題，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一個最長公共子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個子問題，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一個最長公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1

求解：

引進一個二維陣列c[][]，用c[i][j]記錄X[i]與Y[j] 的LCS 的長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪一個子問題的值求得的，以決定搜尋的方向。
我們是自底向上進行遞推計算，那麼在計算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]與c[i][j-1]均已計算出來。此時我們根據X[i] = Y[j]還是X[i] != Y[j]，就可以計算出c[i][j]。

問題的遞迴式寫成：

回溯輸出最長公共子序列過程：

演算法分析：
由於每次呼叫至少向上或向左（或向上向左同時）移動一步，故最多呼叫(m + n)次就會遇到i = 0或j = 0的情況，此時開始返回。返回時與遞迴呼叫時方向相反，步數相同，故演算法時間複雜度為Θ(m + n)。

程式碼：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char*x, char*y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;
    
    for(i =0; i <= m; i++)
        c[i][0] =0;
    for(j =1; j <= n; j++)
        c[0][j] =0;
    for(i =1; i<= m; i++)
    {
        for(j =1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] +1;
                b[i][j] =0;
            }
            elseif(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] =1;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] =-1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char*x, int i, int j)
{
    if(i ==0|| j ==0)
        return;
    if(b[i][j] ==0)
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    elseif(b[i][j] ==1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc, char**argv)
{
    char x[MAXLEN] ={"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] ={"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;
    
    m = strlen(x);
    n = strlen(y);
    
    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);
    
    return0;
}