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多元高斯分佈及多元條件高斯分佈

已知 D 維向量 x,其高斯概率分佈為:

N(x|μ,Σ)==1(2π)D/21|Σ|1/2exp(12(xμ)TΣ1(xμ))1|Σ|(2π)Dexp(12(xμ)TΣ1(xμ))
  • 顯然預設 x 是一個列向量
  • 還需注意的是,當傳遞進去的是樣本矩陣 X(以行為樣本) 而不是列向量 x,則在計算指數部分時,

    -1/2*sum(X/Sigma .* X, 2);
  • 當多元高斯分佈退化為一元高斯時,Σ 對應著 σ2(方差),而不是標準差(standard deviation)

  • 這裡 d=(xμ)TΣ1(xμ) 也稱為馬氏距離;
    是對一元高斯分佈對應的 d
    =xμσ
    得拓展;
  • 多元時的 d=(xμ)TΣ1(xμ) 也可視為某種程度的 z-分數,尤其在變數之間彼此獨立,並且方差相同時, d=xμσ(z-分數),

1. 條件高斯分佈(Conditional Gaussian distributions)

2. 程式設計時的技巧

  • αexp(f(x)) 的計算通常轉換為,求對數,再求指數的形式:elogαexp(f(x))=elogα+f(x)

  • p=1|Σ|(2π)Dexp(12(xμ)TΣ1(xμ))logp=D2log(2π)12log|Σ|12(xμ)T

    Σ1(xμ)

3. 多元高斯概率密度函式的 matlab 實現

function p = gaussProb(X, mu, Sigma)
d = size(Sigma, 2);
X = bsxfun(@minus, X, mu(:)');
log1 = -d/2*log(2*pi)-1/2*logdet(Sigma);
log2 = -1/2*sum(X/Sigma .* X, 2);
p = exp(log1+log2);
end
  • 這裡的 X(樣本矩陣)以行為樣本;

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