下面以字串12212321為例，經過上一步，變成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然後用一個數組 P[i] 來記錄以字元S[i]為中心的最長迴文子串向左/右擴張的長度（包括S[i]，也就是把該回文串“對摺”以後的長度），比如S和P的對應關係：

S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字串中迴文串的總長度）
那麼怎麼計算P[i]呢？該演算法增加兩個輔助變數（其實一個就夠了，兩個更清晰）id和mx，其中 id 為已知的 {右邊界最大} 的迴文子串的中心，mx則為id+P[id]，也就是這個子串的右邊界。

然後可以得到一個非常神奇的結論，這個演算法的關鍵點就在這裡了：如果mx > i，那麼P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是這個串卡了我非常久。實際上如果把它寫得複雜一點，理解起來會簡單很多： //記j = 2 * id - i，也就是說 j 是 i 關於 id 的對稱點(j = id + (id - i))
if (mx - i > P[j]) 
    P[i] = P[j];
else /* P[j] >= mx - i */
    P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，之後再匹配更新。
當然光看程式碼還是不夠清晰，還是藉助圖來理解比較容易。

當 mx - i > P[j] 的時候，以S[j]為中心的迴文子串包含在以S[id]為中心的迴文子串中，由於 i 和 j 對稱，以S[i]為中心的迴文子串必然包含在以S[id]為中心的迴文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，見下圖。


當 P[j] >= mx - i 的時候，以S[j]為中心的迴文子串不一定完全包含於以S[id]為中心的迴文子串中，但是基於對稱性可知，下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以S[i]為中心的迴文子串，其向右至少會擴張到mx的位置，也就是說 P[i] >= mx - i。至於mx之後的部分是否對稱，就只能老老實實去匹配了。


對於 mx <= i 的情況，無法對 P[i]做更多的假設，只能P[i] = 1，然後再去匹配了。

於是程式碼如下： //輸入，並處理得到字串s
int p[1000], mx = 0, id = 0;
memset(p, 0, sizeof(p));
for (i = 1; s[i] != '\0'; i++) {
    p[i] = mx > i ? min(p[2*id-i], mx-i) : 1;
    while (s[i + p[i]] == s[i - p[i]]) p[i]++;
    if (i + p[i] > mx) {
        mx = i + p[i];
        id = i;
    }
}
//找出p[i]中最大的
Java 程式碼如下： package Exercises;


import java.io.FileNotFoundException;
import java.util.Scanner;


public class Palindrome {


public static void main(String[] args) throws FileNotFoundException{
// TODO Auto-generated method stub
 int caseNum = 0;
     Scanner sc = new Scanner(System.in);
       while (true) {
           String str = sc.nextLine();
           if (str.equals("END")) {
               break;
           } else {
               caseNum ++;
               System.out.println("Case " + caseNum + ": " + getLongestPalindrome(str));
           }
       }
}
 public static int getLongestPalindrome(String A) {
       // write code here
            // 1.構造新的字串
       // 為了避免奇數迴文和偶數迴文的不同處理問題，在原字串中插入'#'，將所有迴文變成奇數迴文
       StringBuilder newStr = new StringBuilder();
       newStr.append('#');
       for (int i = 0; i < A.length(); i ++) {
           newStr.append(A.charAt(i));
           newStr.append('#');
       }
       // p[i]表示以i為中心的迴文的最大半徑，i至少為1，即該字元本身
       int [] p = new int[newStr.length()];
       // mx表示已知的迴文中，最右的邊界的座標
       int mx = -1;
       // id表示已知的迴文中，擁有最右邊界的迴文的中點座標
       int id = -1;
       // 2.計算所有的p
       // 這個演算法是O(n)的，因為mx只會隨著裡層while的迭代而增長，不會減少。
       for (int i = 0; i < newStr.length(); i ++) {
           // 2.1.確定一個最小的半徑
           int r = 1;
           if (i <= mx) {
               r = Math.min(p[id] - i + id, p[2 * id - i]);
           }
           // 2.2.嘗試更大的半徑
           while (i - r >= 0 && i + r < newStr.length() && newStr.charAt(i - r) == newStr.charAt(i + r)) {
               r++;
           }
           // 2.3.更新邊界和迴文中心座標
           if (i + r - 1> mx) {
               mx = i + r - 1;
               id = i;
           }
           p[i] = r;
       }
       
       // 3.掃描一遍p陣列，找出最大的半徑
       int maxLength = 0;
       for (int r : p) {
           if (r > maxLength) {
               maxLength = r;
           }
       }
       return maxLength - 1;
   }
}