Floyd演算法

使用範圍:

1)求每對頂點的最短路徑;

2)有向圖、無向圖和混合圖;

演算法思想:

      直接在圖的帶權鄰接矩陣中用插入頂點的方法依次遞推地構造出n個矩陣D(1), D(2), …, D(n), D(n)是圖的距離矩陣, 同時引入一個後繼點矩陣記錄兩點間的最短路徑.

演算法步驟：

d(i,j) : i到j的距離;

path(i,j): i到j的路徑上i的後繼點;

輸入帶權鄰接矩陣a(i,j).

1）賦初值

對所有i,j, d(i,j)⬅a(i,j) , path(i,j)⬅j,k=l.

2）更新d(i,j) , path(i,j)

對所有i,j,

d(i,j)⬅d(i,k)+d(k,j) , path(i,j)⬅path(i,k) , k ⬅k+1

3）重複2)直到k=n+1

使用說明：

Floyd演算法程式的使用說明：

1.    [D, path]=floyd(a),  返回矩陣D, path 。其中a是所求圖的帶權鄰接矩陣，D(i,j)表示i到j的最短距離;  path(i,j)表示i與j之間的最短路徑上頂點i的後繼點.

2.   [D, path, min1, path1]= floyd(a,i,j)   返回矩陣D, path;  並返回i與j之間的最短距離min1和最短路徑path1.

MATLAB原始碼：

function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)
D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);
for i=1:n
   for j=1:n
      if D(i,j)~=inf
         path(i,j)=j;
end,  end, end
for k=1:n
   for i=1:n
      for j=1:n
         if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)
            D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
            path(i,j)=path(i,k);
end, end, end,end

if nargin==3
   min1=D(start,terminal);
   m(1)=start;
   i=1;
   path1=[ ];   
   while   path(m(i),terminal)~=terminal
      k=i+1;                                
      m(k)=path(m(i),terminal);
      i=i+1;
   end
   m(i+1)=terminal;
   path1=m;
end   
 

示例：

a =[ 0     2     8     1   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf;
     2     0     6   Inf     1   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf;
     8     6     0     7     5     1     2   Inf   Inf   Inf   Inf;
     1   Inf     7     0   Inf   Inf     9   Inf   Inf   Inf   Inf;
   Inf     1     5   Inf     0     3   Inf     2     9   Inf   Inf;
   Inf   Inf     1   Inf     3     0     4   Inf     6   Inf   Inf;
   Inf   Inf     2     9   Inf     4     0   Inf     3     1   Inf;
   Inf   Inf   Inf   Inf     2   Inf   Inf     0     7   Inf     9;
   Inf   Inf   Inf   Inf     9     6     3     7     0     1     2;
   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf     1   Inf     1     0     4;
   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf   Inf     9     2     4     0];
start = 1;
terminal = 11;
[D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal)

結果：

min1 =

    13


path1 =

     1     2     5     6     3     7    10     9    11