摘要（Abstract）

本文介紹使用Python來做數學計算，在學習和工作中，經常會遇到一些數學計算的問題。一般人會使用計算器軟體，不得不說，計算器太難用了。專業人士可能會使用更強大的工具，如Matlab，但這種重量級工具有時可能並不適用。本文打算使用一個輕量級的工具Python來做計算。準確來說Python並不是一個數學工具，而是一種程式語言。Python提供了很多數學庫，利用Python和這些庫可以做很多數學計算。

本文不是程式語言的教程，更像是一個工具的使用教程，閱讀本文不需要有程式設計基礎，當然，需要一點數學基礎（比如加減乘除）。本文適合任何想找一個計算工具的人學習和參考。

本文將以例項講解各種用法。

安裝Python（Installation）

Python官方網站提供下載，完全免費使用。Python目前有Python 2和Python 3兩個版本，兩個版本有一些語法差別，對於本文來說，幾乎沒有區別，推薦使用Python 3。在Download介面找到系統對應的版本下載（我的版本是Mac OS X 64-bit/32-bit installer），雙擊直接安裝。安裝好後，找到程式IDLE，啟動IDLE就可開始寫Python程式了。

• 提示1：Mac OS和大部分版本Linux系統自帶Python執行環境，可以不用安裝。當然，也可升級成最新版本。Windows需要自行安裝。

• 提示2：也可以安裝Sublime Text編輯器，再安裝Sublime REPL外掛。本人現在使用這種方案，寫Python程式非常方便。
  

• 提示3：搜狗輸入法使用者注意，搜狗輸入法在IDLE下有點小問題（不能退格），切換到英文輸入法即可。

Python 2 和Python 3的注意事項

• print的語法。python 3的用法為print("hello world!")，python 2的用法為print "hello world!"或者print("hello world!")。

基本運算

加法

>>> 1 +  2      //直接輸入，回車直接輸出結果
3
 

>>> sum = 1 + 2 //計算結果儲存在sum中
>>> print(sum)      //輸出sum
3
>>> a = 1       //變數
>>> b = 2
>>> sum = a + b     //變數相加
>>> print(sum)
3

減法

>>> a = 1
>>> b = 2
>>> 2 - 1
1
>>> a - b
-1
>>> b - a
1

乘法

>>> 1 * 2
2
>>> 1.5 * 3
4.5
>>> a * b
2
>>> 

除法

傳統的除法。有程式設計經驗的人一定知道，整型除法的結果也是整型（地板除，捨棄小數部分）。如果有一個數是浮點型，則結果是浮點型（真正的除法，保留小數）。

>>> 1 / 3           //整型除法，商為0，捨棄小數部分
0   
>>> 5 / 2
2   
>>> 1.0 / 3         //浮點數除法，保留小數
0.3333333333333333
>>> 5.0 / 2.0
2.5

真正的除法。在未來的Python版本中，不管是整型還是浮點型除法，結果總是真實地商（保留小數部分），現階段可以通過執行from __future__ import division指令做到這一點。

>>> from __future__ import division
>>> 1 / 3
0.3333333333333333
>>> 5 / 2
2.5
>>> 1.0 / 3
0.3333333333333333
>>> 5.0 / 2.0
2.5

地板除。Python 2.2新加了一個操作符//，//除法不管運算元為何種數值型別，總是捨棄小數部分。

>>> 1 // 3
0
>>> 5 // 2
2
>>> 1.0 // 3
0.0
>>> 5.0 // 2.0
2.0

取餘數

>>> 1 % 3
1
>>> 5 % 2
1
>>> 5.0 % 2.0
1.0

冪運算

Python有冪運算子**。

>>> 2 ** 3
8
>>> 2.5 ** 5
97.65625
>>> 4 ** -1
0.25

程式碼中分別計算2³、2.5⁵、4^-1。

複數

複數的表示。複數的表示如下：

>>> aComplex = 1 + 2j       //申明一個複數
>>> aComplex
(1+2j)
>>> aComplex.real           //複數實部
1.0
>>> aComplex.imag           //複數虛部
2.0
>>> aComplex.conjugate()        //共軛複數
(1-2j)
>>> 

複數的運算。複數的運算與實數一致。

>>> c = 1 + 2j
>>> d = 2 - 1j
>>> c + d
(3+1j)
>>> c - d
(-1+3j)
>>> c * d
(4+3j)
>>> c / d
1j
>>> c / 2
(0.5+1j)
>>> c * 2
(2+4j)
>>> c ** 2
(-3+4j)

math標準庫

Python有一個標準庫math專門用來做數學運算的。詳細介紹可參考Python的官方文件。要使用math庫，先要import這個庫。

>>> import math

一下的例子假設已經執行了import math。

兩個常數

>>> math.pi             //圓周率pi
3.141592653589793
>>> math.e
2.718281828459045       //自然常數e

數值計算

• math.ceil(x)。向上取整，返回最小的大於或等於x的整數。

>>> math.ceil(2)
2.0
>>> math.ceil(2.2)
3.0
>>> math.ceil(2.9)
3.0
>>> math.ceil(3.0)
3.0

• math.floor(x)。向下取整，返回最大的小於或等於x的整數。

>>> math.floor(2)
2.0
>>> math.floor(2.2)
2.0
>>> math.floor(2.9)
2.0
>>> math.floor(3.0)
3.0

• math.fabs(x)。取x得絕對值。

>>> math.fabs(1.0)
1.0
>>> math.fabs(-1.0)
1.0

• math.factorial(x)。求x的階乘，x必須為整數，否則出現錯誤。

>>> math.factorial(5)
120
>>> math.factorial(4)
24
>>> math.factorial(2.1)     //執行錯誤
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: factorial() only accepts integral values
>>> 

冪和對數函式（Power and logarithmic functions）

• math.exp(x)。返回e ** x。

>>> math.exp(2)
7.38905609893065
>>> math.e ** 2
7.3890560989306495  //請忽略後面的不一致，計算機浮點數本身的問題

• math.log(x [,base])。求以base為底的對數。

>>> math.log(math.e)        //值傳一個引數，預設以math.e為底
1.0
>>> math.log(math.e ** 2)
2.0
>>> math.log(8, 2)      //兩個引數，2為底
3.0
>>> math.log(100, 10)   //兩個引數，10為底s
2.0

• math.pow(x, y)。冪運算，計算x^y，相當於x ** y。

>>> math.pow(2, 3)
8.0
>>> 2 ** 3
8

• math.sqrt(x)**。求x的平方根。

>>> math.sqrt(4)
2.0
>>> math.sqrt(9.0)
3.0

• 開根號。Python的math庫中只有開平方根，沒有立方根和n次方根，不過可以利用math.pow或者**，只需把根號變成分數。

>>> math.pow(4, 1.0 / 2)        //平方根，相當於math.sqrt(4)
2.0
>>> 4 ** (1.0 / 2)          //平方根，相當於math.sqrt(4)
2.0
>>> 8 ** (1.0 / 3)          //立方根
2.0
>>> 1024 ** (1.0 / 10)          //10次方根
2.0

三角函式（Trigonometric functions）

math庫中的三角函式使用的弧度（radians）計算，所以用角度(angle)計算前先要轉換成弧度。math也提供了角度和弧度的轉換函式。

>>> math.degrees(math.pi)
180.0
>>> math.radians(180.0)
3.141592653589793

• math.cos(x)。不解釋。
• math.sin(x)。不解釋。
• math.tan(x)。不解釋。
• math.acos(x)。反餘弦函式。
• math.asin(x)。反正弦函式。
• math.atan(x)。反正切函式。
• math.hypot(x，y)。歐式範數（Euclidean norm）。相當sqrt(x*x + y*y)。

>>> math.cos(math.pi)
-1.0
>>> math.sin(math.pi / 2)
1.0
>>> math.tan(math.pi / 4)
0.9999999999999999      //結果為1，計算機浮點數固有缺陷
>>> math.tan(math.pi / 4)
0.9999999999999999
>>> math.acos(-1.0)
3.141592653589793
>>> math.asin(1.0)
1.5707963267948966
>>> math.atan(1)
0.7853981633974483
>>> math.pi / 4
0.7853981633974483
>>> math.hypot(3, 4)
5.0

雙曲函式（Hyperbolic functions）

雙曲函式和三角函式類似。

• math.cosh(x)。求x的雙曲餘弦函式。
• math.sinh(x)。求x的雙曲正弦函式。
• math.tanh(x)。求x的雙曲正切函式。
• math.acosh(x)。求x的反雙曲餘弦。
• math.asinh(x)。求x的反雙曲正弦。
• math.atanh(x)。求x的反雙曲正切。

>>> math.cosh(1)
1.5430806348152437
>>> math.sinh(1)
1.1752011936438014
>>> math.tanh(1)
0.7615941559557649
>>> math.acosh(1.5430806348152437)
1.0
>>> math.asinh(1.1752011936438014)
1.0
>>> math.atanh(0.7615941559557649)
0.9999999999999999          //結果為1，計算機浮點數固有缺陷

一個複雜的例子

舉一個複雜的例子，計算下面的公式：

>>> - (4 ** (1.0 / 3)) / 4 * math.log(2 ** (1.0 / 3) - 1) - (math.sqrt(3) * (4 ** (1.0 / 3))) / 6 * math.atan(math.sqrt(3) / (1 + 2 * (2 * (1.0 / 3))))
0.24209140862733897

坑

在前面的例子可能已經注意到了，計算機表示浮點數是不準確的，比如1.0成了0.9999999999999999。這是計算機浮點數表示法的固有缺陷。比如會出現如下結果：

>>> 0.05 + 0.01
0.060000000000000005
>>> 1.0 - 0.12
0.88
>>> 1.0 - 0.32
0.6799999999999999
>>> 1.0 - 0.42
0.5800000000000001
>>> 4.015 * 100
401.49999999999994
>>> 123.3 / 100
1.2329999999999999

浮點數的缺陷不僅僅在Python在存在，在任何語言都存在，它是浮點數表示法本身的缺陷。對於不是非常嚴格的計算，這種缺陷是可以接受的，而對於過於嚴格的計算，那麼應該用整型數計算（整型計算是精確的）。比如在保留兩位小數的計算中，可以把原始數乘以100取整數再計算，約定最後兩位為小數即可。

結語

本文介紹了Python標準庫的數學計算方法，通過使用Python標準數學庫，可以應付一些日常的基本計算（比如我就很少使用計算器了，一般的計算都用Python解決）。當然，數學是如此的豐富，僅有標準庫是遠遠不夠的。將來如果有需要的話，我會研究下使用其它的數學庫來進行更復雜的計算以及數學影象的繪製。比如NumPy、SciPy、Matplotlib、SymPy等。