1，0-1揹包

問題描述：

給定個物品和一個揹包，第個物品的重量為,其價值為.揹包的總容量為,問如何選取物品使得揹包中所裝入物品價值最大並且裝入揹包物品重量之和不超過揹包總重量。

問題分析：

需要注意的是，再把物品裝入揹包時，每種物品都有兩種選擇，裝入揹包和不裝入揹包,不可以將物品多次裝入揹包，也不可以只裝入物品i的一部分。如果我們用來表示物品,那麼當=0時表示物品沒有裝入揹包，當！=0時就說物品裝入揹包，因次0——1揹包問題的一個最優解就是一個元0-1向量,使得,而且達到最大的問題。因此，我們可以把問題描述為以下約束函式：約束條件：（，）,目標函式。

將上述問題的最優解記錄在中，即是在揹包容量為j，可選物品為i,i+1,.....n時0-1揹包問題的最優值，也就是被放入揹包的所有物品的最大價值總和，最優解就是0-1向量

,在這裡，表示揹包容量為時可選物品為i+1,i+2,....n時0-1揹包問題的最優值，因此問題是問題的子問題，要由問題得到問題只需要考慮第i個物品是否放入揹包即可，分為兩種情況，如果中揹包容量不足以放入第i個物品，那麼表示問題不放入第i件物品，反之即可以放入第i件物品，這時有兩種選擇，放入，即,另一種是不放入，,只要取兩者中最大者即可，當問題一直分解，直至有一個物品時，問題 就變成了問題，表示可選物品只有第n件時的最優值，因此是否裝入第n件物品只有兩種情況。

根據約束條件建立揹包的遞迴關係：

遞迴求最優解

根據演算法Knapsack我們求解的只是揹包在容量為c,可選物品為時揹包所獲得的最大價值。我們可以通過maxValue來構造最優解。從

開始，n代表第n個物品，如果,則=0,否則=1，然後遞推到，一直進行遞推，直到,如果，則,否則，至此，我們已經構造出最優解。

根據描述，0-1揹包問題中有n件物品，陣列weight存放物品重量，value存放物品價值，二維陣列maxValue存放當揹包容量為j時，可選物品為i,i+1,i+2,...n時0-1揹包問題的最優解。程式碼實現如下：

#include "pch.h"
#include <iostream>
	using namespace std;
	void Knapsack(int *weight, int *value, int W_num, int V_num, int maxWeight)
	{
		int *flag = new int[W_num];//構造最優解的標誌陣列，存放沃品個數
		int **maxValue = new int *[W_num ];//建立動態二維陣列，行代表物品個數，列代表此時的揹包容量
		for (int i = 0; i < W_num; i++)
			maxValue[i] = new int[maxWeight + 1];
		for (int j = 0; j < W_num; j++)//初始化為0
		{
			for (int k = 0; k <=maxWeight; k++)
				maxValue[j][k] = 0;
		}
		for (int i = 0; i < W_num; i++)
			maxValue[i][0] = 0;
		for (int k = 0; k <= maxWeight; k++)//放入第一個物品
		{
			maxValue[0][k] = (k < weight[0]) ? 0 : value[0];
		}
		for (int i = 1; i < W_num; i++)
		{
			for (int j = 0; j <= maxWeight; j++)//代表當前揹包容量
			{
				if (j >= weight[i])
					maxValue[i][j] = (maxValue[i - 1][j] >=maxValue[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) ? maxValue[i - 1][j] : (maxValue[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
				else
					maxValue[i][j] = maxValue[i - 1][j];
			}
		}
		
		cout << "揹包能獲得的最大價值是:" << maxValue[W_num - 1][maxWeight ] << endl;
		//構造最優解
		for (int i = W_num-1; i > 0; i--)
		{
			if (maxValue[i][maxWeight] == maxValue[i - 1][maxWeight])
				flag[i] = 0;
			else
			{
				flag[i] = 1;
				maxWeight = maxWeight - weight[i];
			}
		}
		if (maxValue[0][maxWeight])
		{
			flag[0] = 1;
		}
		cout << "裝入揹包的物品依次是:";
		for (int i = 0; i < W_num; i++) {
			if(flag[i]!=0)
			cout <<" 第"<<i+1<<"件";
		}
		for (int i = 0;i < W_num;i++)//釋放記憶體空間
		{
			delete[] maxValue[i];
		}
		delete []maxValue;
                delete []weight;
                delete []Value;
	}
	int main()
	{
		int biggestweight;
		int countNum;
		cout << "請輸入揹包最大容量:" << endl;
		
		cin >> biggestweight;
		cout << "請輸入物品數量:" << endl;
		cin >> countNum;
		int *weight = new int[countNum];
		int *value = new int[biggestweight];
		cout << "請輸入每種物品的重量:" << endl;
		for (int i = 0;i < countNum;i++)
		{
			cin >> weight[i];
		}
		cout << "請輸入每種物品的價值:" << endl;
		for (int i = 0;i < countNum;i++)
			cin >> value[i];
		Knapsack(weight, value, 5, 5, 10);
		

	}
 

根據演算法中的遞迴關係，演算法Knapsack的,而構造最優解的過程需要的計算時間。

2，揹包問題

揹包問題與0-1揹包問題很相似，約束條件基本一致，但也有其差別，在於揹包問題在裝入物品時可以選擇一部分作為裝入，而0-1揹包對於沒裝物品要不裝入，要不不裝入，所以在探討0-1揹包的基礎上我們來看看揹包問題。顧名思義，揹包問題要求是在給定揹包容量的限定下，要使裝入揹包物品的價值達到最大。在這裡我們有兩種裝法：（1）我們首每次都裝所剩下物品中價值最大的，（2）每次都選擇單位價值最大的物品裝入直至揹包裝滿。對於這兩種裝法，我們都用到貪心策略，對於第一種裝法，我們可以把所給的物品按照從大到小排序，然後依次裝入揹包，直至揹包裝滿。第二種裝法，我們先對每一種物品求出其（即單位價格的重量），然後每次裝入我們都選擇單位價格最大的物品裝入，直到揹包裝滿求出其總價值。經過對比我們發現，顯然第二幢方法獲得的價值量要大於第一種方法。所以，對於揹包問題，我們一般用貪心策略每次裝入都選擇單位價值最大的，最後可以獲得最大價值量。

// 揹包問題.cpp : 此檔案包含 "main" 函式。程式執行將在此處開始並結束。
//

#include "pch.h"
#include <iostream>
using namespace std;
struct goods {
	float weight;
	float value;
	float per_price;
};
void Knapsack(goods *good, float biggestWeight, int n)
{
	int *arr = new int[n];
	int *flag = new int[n];
	for (int i = 0;i < n;i++)
	{
		
		good[i].per_price = good[i].value / good[i].weight;//記錄單位價格
	}
	float temp;
	int max;
	for (int i = 0;i < n-1;i++)
	{
		max = i;
		for (int j = i+1;j < n;j++)
		{
			if (good[j].per_price > good[i].per_price)
				max = j;//記錄下標
		}
		if (max != i)
		{
			temp = good[i].per_price;
			good[i].per_price= good[max].per_price;
			good[max].per_price = temp;
			temp = good[i].value;
			good[i].value = good[max].value;
			good[max].value = temp;
			temp = good[i].weight;
			good[i].weight = good[max].weight;
			good[max].weight = temp;

		}
	}
	int i = 0;
	float bigValue = 0;
	for ( i = 0;i < n;i++)
	{
		if (good[i].weight <=biggestWeight)
		{
			bigValue += good[i].value;
			biggestWeight -= good[i].weight;
			flag[i] = 1;
		}
		else {
			bigValue += good[i].per_price*biggestWeight;
			flag[i] = 1;
			break;
		}
		
	}
	cout << "揹包獲得最大價值是:" << bigValue << endl;
	for (int i = 0;i < n;i++)
	{
		cout << good[i].value << " " << good[i].weight << " " << good[i].per_price << endl;
	}
		delete []arr;
		delete[]flag;
}
int main()
{
	//揹包問題
	cout << "請輸入物品個數:" << endl;
	int goodNum;
	cin >> goodNum;
	cout << "請輸入揹包最大容量:" << endl;
	float biggestWeight;
	cin >> biggestWeight;
	goods *good = new goods[goodNum];
	cout << "請輸入每種商品的價值和重量:" << endl;
	for (int i = 0;i < goodNum;i++)
		cin >> good[i].value >> good[i].weight;
	Knapsack(good, biggestWeight, goodNum);
	
   
}