題目描述：給定一個正整數 n，將其拆分為至少兩個正整數的和，並使這些整數的乘積最大化。 返回你可以獲得的最大乘積。

示例 1:

輸入: 2
輸出: 1
解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

輸入: 10
輸出: 36
解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

說明: 你可以假設 n 不小於 2 且不大於 58。

解法1。遞迴，使用記憶陣列，不使用的話會超時。memo[i]記錄的把i分割後的最大乘積（至少分割成2部分）

class Solution(object):
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n <= 2:
            return 1
        memo = [-1 for _ in range(n+1)]
        return self.helper(n, memo)
    
    def helper(self, n, memo):
        if n <= 1:
            return 1
        if memo[n] != -1:
            return memo[n]
        res = -1
        for i in range(1, n):
            res = max(res, i*(n-i), i*self.helper(n-i, memo))    
        memo[n] = res
        return res
 

解法2。用動態規劃，把遞迴改寫成自底向上

class Solution(object):
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n<=2:
            return 1
        memo = [-1 for _ in range(n+1)]
        memo[1] = 1
        for i in range(2, n+1):
            for j in range(1, i):
                memo[i] = max(memo[i], j*(i-j), j*memo[i-j])
        return memo[n]
 

解法3。如何把複雜度控制在O(n)呢？數學的題就要得出數學規律來結題。

正整數從1開始，但是1不能拆分成兩個正整數之和，所以不能當輸出。

那麼2只能拆成1+1，所以乘積也為1。

數字3可以拆分成2+1或1+1+1，顯然第一種拆分方法乘積大為2。

數字4拆成2+2，乘積最大，為4。

數字5拆成3+2，乘積最大，為6。

數字6拆成3+3，乘積最大，為9。

數字7拆為3+4，乘積最大，為12。

數字8拆為3+3+2，乘積最大，為18。

數字9拆為3+3+3，乘積最大，為27。

數字10拆為3+3+4，乘積最大，為36。

....

那麼通過觀察上面的規律，我們可以看出從5開始，數字都需要先拆出所有的3，一直拆到剩下一個數為2或者4，因為剩4就不用再拆了，拆成兩個2和不拆沒有意義，而且4不能拆出一個3剩一個1，這樣會比拆成2+2的乘積小。那麼這樣我們就可以寫程式碼了，先預處理n為2和3的情況，然後先將結果res初始化為1，然後當n大於4開始迴圈，我們結果自乘3，n自減3，根據之前的分析，當跳出迴圈時，n只能是2或者4，再乘以res返回即可。

class Solution(object):
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n==2 or n==3:
            return n-1
        res = 1
        while n > 4:
            res *= 3
            n -= 3
        return res*n

參考連結：http://www.cnblogs.com/grandyang/p/5411919.html