求職期間，做很多公司的筆試題，最後的程式設計題都是往往都能用動態規劃的思路解決，接下來，說一說動態規劃問題的個人理解：

首先，解決動態規劃問題掌握兩點：

1. 動態規劃中有三個重要的概念：最優子結構、邊界、狀態轉移公式。

2. 動態規劃問題的解決思路：從上往底分析，自底向上求解。

以例題說明：

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題目一：有一座高度是10級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上

    解：假設只差一步就走到10級臺階，這時會出現兩種情況，一是走到第九級，接下來只需一步跨1級；二是走到第八級，接下來一步只需跨2級。如果0到9級臺階有F(9)種走法，0到8級臺階有F(8)種，則0到10級臺階有F(8)+F(9)種走法。以此歸納：

F(1)=1

F(2)=2

F(n)=F(n-1)+F(n-2)  (n>=3)

這裡F(8)和F(9)是F(10)的最優子結構；F(1)=1和F(2)=2是邊界；F(n)=F(n-1)+F(n-2)是階段和階段之間的狀態轉移公式。

我們用到的分析方法是從最頂端開始，解決問題確實從底部開始。這裡的原因在於，如果採用從頂部開始計算，其過程類似於一個二叉樹，中間有很多重複的計算，複雜度很高。而從底部開始計算，直截了當。

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接下來，考慮一個更復雜些的問題：

題目二：我們有面值為1元3元5元的硬幣若干枚，如何用最少的硬幣湊夠11元？

    解：類似題目一的解決思路，假設只差一枚硬幣就湊夠11元，則有三種情況，一是已有10元，差一枚1元的；二是已有8元，差一枚3元的；三是已有6元，差一枚5元的；如果湊夠10元最少的硬幣數是F(10)，湊夠8元最少的硬幣數是F(8)，湊夠6元最少的硬幣數是F(6)，則湊夠11元的最少硬幣數是min{F(10)+1,F(8)+1,F(6)+1}。以此歸納：

F(1)=1

F(2)=2

F(3)=1

F(4)=2

F(5)=1

F(n)=min{F(n-1)+1,F(n-3)+1,F(n-5)+1}   (n>=6)

到此，最優子結構、邊界、狀態轉移公式顯而易見，問題可解。

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接下來，考慮一個更更復雜的問題：

題目三：

問題：有一個國家發現了5座金礦，每座金礦的黃金儲量不同，需要參與挖掘的工人數也不同（情況如下圖）。

參與挖礦工人的總數是10人。每座金礦要麼全挖，要麼不挖，不能派出一半人挖取一半金礦。要求用程式求解出，要想得到儘可能多的黃金，應該選擇挖取哪幾座金礦？

    解：依然類似之前提到的分析方法。自頂向下分析，假設10人4個金礦的最優選擇收益為F[10；4]，則10人五個金礦的最優選擇收益有兩種情況，一是仍為10人4個金礦的最優選擇收益，二是，（10-5）人4個金礦的最優選擇收益再加上第5個金礦收益。其區別實際上就是是否選擇第5個金礦,。以此歸納：

F[10;1]=w1  (p1<=10)

F[10,1]=0  (p1>10)

F[10,n]=max{F[10,n-1],F[10-pn,n-1]+wn}   (pn<=10)

F[10,n]=F[n-1]  (pn>10)

這裡的最優子結構為，F[10,5]=max{F[10,4],F[10-5,4]+400}   (5<=10),；邊界為F[10;1]=w1  (p1<=10)和F[10,1]=0  (p1>10)；狀態轉移公式為F[10,n]=max{F[10,n-1],F[10-pn,n-1]+wn}   (pn<=10)  和  F[10,n]=F[n-1]  (pn>10)

其C++程式碼如下：

1. #include<iostream>
2. usingnamespace std;  
3. int main()  
4. {  
5.     int n=5,w=10;                            //金礦數，挖礦工人總數
6.     int p[]={0,5,3,4,3,5};                    //每個礦需要的工人數
7.     int v[]={0,500,200,300,350,400};  //每個礦的價值
8.     int Preresult[19];  
9.     int t;  
10.     for(int i=1;i<=10;i++)  
11.     {  
12.         if(i<p[1])  
13.         {  
14.             Preresult[i]=0;  
15.         }  
16.         else
17.         {  
18.             Preresult[i]=v[1];  
19.         }  
20.     }  
21.     int result[19]={0};  
22.     Preresult[0]=0;  
23.     for(int i=2;i<=n;i++)  
24.     {  
25.         for(int j=1;j<=w;j++)  
26.         {  
27.             //這一處理是避免因訪問下標為負的元素而產生異常或者指定的儲存單元意外存在資料影響最終結果
28.             if(j-p[i]<0)  
29.             {  
30.                 t=-102876;  
31.             }  
32.             else
33.             {  
34.                 t=Preresult[j-p[i]];  
35.             }  
36.             result[j]=max(Preresult[j],t+v[i]);  
37.         }  
38.         for(int k=1;k<=10;k++)  
39.         {  
40.             Preresult[k]=result[k];  
41.         }  
42.     }  
43.     cout<<result[10]<<endl;  
44. system("pause");  
45. return 0;  
46. } 

接下來，考慮一個更更更復雜些的問題：

題目四：給定一個矩陣m，從左上角開始每次只能向右走或者向下走，最後達到右下角的位置，路徑中所有數字累加起來就是路徑和，返回所有路徑的最小路徑和，如果給定的m如下，那麼路徑1,3,1,0,6,1,0就是最小路徑和，返回12。

1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1

8 8 4 0

  解：做類似的分析，走到第(i ,j)個數時，只可能是從(i-1 ,j)或是(i ,j-1)走來的，路徑(i ,j)的階段依賴的是(i-1 ,j)和(i ,j-1)的子階段，所以狀態轉移公式為dp[i][j] =a[i][j] + min(dp[i-1][j]+ dp[i][j-1])，其C++程式碼如下：

1. #include <iostream>
2. #include <algorithm>
3. usingnamespace std;  
4. int dp[4][4] = {};     //全域性陣列，存放決策表
5. int main(int argc,char** argv)  
6. {  
7.     int a[4][4] = {1,3,5,9,8,1,3,4,5,0,6,1,8,8,4,0};  //矩陣儲存a[i][j]
8.     for (int i = 0;i < 4;++i)  
9.     {  
10.         for (int j = 0;j < 4;++j)  
11.         {  
12.             if (i==0 && j==0)                         //邊界條件問題需要考慮到
13.             {  
14.                 dp[i][j] = a[i][j];  
15.             }  
16.             elseif (i==0 && j!=0)  
17.             {  
18.                 dp[i][j] = a[i][j] + dp[i][j-1];  
19.             }  
20.             elseif (i!=0 && j==0)  
21.             {  
22.                 dp[i][j] = a[i][j] + dp[i-1][j];  
23.             }  
24.             else
25.             {  
26.                 dp[i][j] = a[i][j] + min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);  
27.             }  
28.         }  
29.     }  
30.     cout<<"走到位置"<<"(4,4)"<<"最短路徑為：";  
31.     cout<<dp[3][3]<<endl;           //好像到這裡又腦殘了一次，真輸出dp[4][4]了~
32.     system("pause");  
33.     return 0;  
34. }