問題描述

    約瑟夫環問題（Joseph）又稱丟手絹問題：已知 m 個人圍坐成一圈，由某人起頭，下一個人開始從 1 遞增報數，報到數字 n 的那個人出列，他的下一個人又從 1 開始報數，數到 n 的那個人又出列；依此規律重複下去，直到 m 個人全部出列約瑟夫環結束。如果從 0 ~ (m-1) 給這 m 個人編號，請輸出這 m 個人的出列順序。

解決思路

    本題的解決思路有兩種：一是用迴圈連結串列解決，這會在後續的部落格中給出解決方法；二是用線性表陣列表示法解決。

    線性表陣列解決方式有 2 種：1 是利用上篇部落格提到的 ListDelete 函式，凡是數到 n 的那個出列元素直接刪去；2 是設定標記，凡是數到 n 的那個出列元素，置為 -1 ，下一輪開始值為 -1 的不參與報數。

    如何用陣列表示迴圈呢，即現在的問題是，數到 m-1 ，如何再尋回至0 ？這裡可以採用 取模運算子 % ，即  i = (i+1) % m ，其中 i = [ 0 , m-1] 。

詳細程式碼

/* 實現Joseph Ring */

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include "SlistOperation.h"

void InitJoseph(SLIST &L, int num){
    for(int i=1;i<=num;i++){
        ListInsert(L,i,i-1);
    }
}

void Joseph_1(SLIST L, int jump){
    int st = 0, pos = 1, item, temp;
    while(!ListEmpty(L)){
        while( st != jump ){
            GetElem(L,pos,temp);    //獲取當前pos位序的元素temp
            if (pos < ListLength(L)) //獲取temp的後繼item
                NextElem(L,temp,item);
            else
                item = L.A[0];
            pos = LocateElem(L,item);   //獲取後繼item的位序
            st++;   //用於判斷出圈元素
        }
        ListDelete(L,pos,temp); //滿足條件的pos即刪除並列印
        printf("%d ",temp);
        st = 1;
        if (pos > ListLength(L))
            pos = 1;
    }
    printf("\n");
}

void Joseph_2(SLIST L, int num, int jump){
    int i = 0, pos = 1;
    for (int j = 0; j < num; j++){	//規定輸出次數為m
        while (i != jump){
            if (pos == ListLength(L))	//獲取下一位
                pos = 1;
            else
                pos++;
            if (L.A[pos-1] >= 0)	//當前位置為-1，說明已出列
                i++;
        }
        i = 0;
        printf("%d ",L.A[pos-1]);
        L.A[pos-1] = -1;	//出列位記為-1
    }
}

int main(){
    int m,n;
    SLIST L;
    InitList(L);
    printf("請輸入環的總數: ");
    scanf("%d",&m);
    printf("請輸入跳數：");
    scanf("%d",&n);
    if (m<=0 || n<=0){
        printf("Input Error\n");
        system("pause");
        return 0;
    }

    InitJoseph(L,m);
    printf("\n變換前的初始環為：");
    ListTravers(L);
    printf("\n約瑟夫環解法一為：");  //ListDelete()刪除出隊元素
    Joseph_1(L,n);
    printf("\n約瑟夫環解法二為：");  //出隊元素置為-1
    Joseph_2(L,m,n);
    printf("\n");
    return 0;
}
 

程式執行的結果示例，截圖如下：

數學求解

    數學求解的思路是將約瑟夫問題歸納為數學問題，即推匯出遞推公式。好處是合理採用數學策略，使得程式設計簡單，時間複雜度為 O(n)，但是隻能得到最後出列的那個人的序號。     對於 m 個人，編號為 0~(m-1) ，其中第 k 個人出列，即 k-1 出列。 -> 0， 1，... ... ，k-1，k，k+1，... ...，m-1 （1）     出列元素為 (n-1) % m。 -> 0， 1，... ... ，k-2，k，k+1，... ...，m-1     延長此序列為： -> 0， 1，... ... ，k-2，k，k+1，... ...，m-1，m，m+1，... ...，m+k-2     出去 0~k-2 元素 -> k，k+1，... ...，m-1，m，m+1，... ...，m+k-2     減去k -> 0， 1，... ... ，m-2（2）     上述過程演示的就是 m 個人到 m-1 個人的變化，即可以通過遞推得到約瑟夫環最後一個輸出元素。現在從（2）回推 （1） ，假設（2）中只剩下最後一個元素 x，如果回推到（1）中對應的位序是x`，那麼問題就得到了解決。     顯然我們可以得到 x` = (x+k) % m，於是就可以得到遞推公式：f[1] = 0；f[i] = (f[i-1] + n) % i ，(i > 1)。  好了，這個問題就說到這兒。有問題請聯絡我：[email protected] 轉載請宣告出處：http://bolg.csdn.net/zhongkelee  原始碼下載