有n種硬幣，面值分別為V1，V2，V3，.....Vn，每種都有無限多。給定非負整數S，可以選用多少個硬幣，使得面值之和恰好為S？輸出硬幣數目的最小值和最大值。1<=n>=100,

0<=S<=10000,1<=Vi<=S.

思路：本題是固定終點和起點的DAG動態規劃。我們把每種面值看做一個點，表示“還需要湊足的面值”，則初始狀態為S，目標狀態為0。如當前在狀態i，沒使用一個硬幣j，狀態變轉移到i-Vj。

我對於這道題目的意義就是想討論一下書上所說的三種DP方式和路徑輸出方式，因為書上沒有給出完整的程式碼，我覺得整理一下，對DAG上DP的學習非常有幫助。

第一：遞推法。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=10000;
const int inf=1000000000;
int n,S;
int Min[maxn],Max[maxn],V[maxn];

void print_ans(int *dp,int S)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(S>=V[i]&&dp[S]==dp[S-V[i]+1])
		{
			printf("%d\n", i);
			print_ans(dp,S-V[i]);
			break;
		}
	}
}
int main()
{
	int i,j;
    while(scanf("%d%d",&n,&S)==2)
    {	
    	memset(Min,0,sizeof(Min));
    	memset(Max,0,sizeof(Max));
    	memset(V,0,sizeof(V));
    	for(i=1;i<=n;i++)     scanf("%d",&V[i]);
    	for(i=1;i<=n;i++)	  Min[i]=inf,Max[i]=-inf;

    	Min[0]=Max[0]=0;
    	for(i=1;i<=S;i++)
    	{
    		for(j=1;j<=n;j++)
    		{
    			if(i>=V[j])
    			{
    				Min[i]=min(Min[i],Min[i-V[j]]+1);
    				Max[i]=max(Max[i],Max[i-V[j]]+1);
    			}
    		}
    	}
    }
    return 0;
}
 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=10000;
const int inf=1000000000;

int Min[maxn],Max[maxn],min_coin[maxn],max_coin[maxn];
int V[maxn];
int n,S;
void print(int *dp_path,int S)
{
	while(S)
	{
		printf("%d",dp_path[S]);
		S-=V[dp_path[S]];
	}
}

int main()
{
	int i,j;
        scanf("%d%d",&n,&S);
        for(i=1;i<=n;i++)		scanf("%d",&V[i]);
	Min[0]=Max[0]=0;
	for(i=1;i<=n;i++)		Min[i]=inf,Max[i]=-inf;
	for(i=1;i<=S;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
		        if(i>=V[j])
			{
				if(Min[i]>Min[i-V[j]]+1)
				{
					Min[i]=Min[i-V[j]+1];
					min_coin[i]=j;
				}
				if(Max[i]<Max[i-V[j]]+1)
				{
					Max[i]=Max[i-V[j]]+1;
					max_coin[i]=j;
				}
			}
		}
	}
	print(min_coin,S);
	printf("\n");
	print(max_coin,S);
	printf("\n");
	return 0;
}
第三種：記憶搜尋，要搜尋兩次。。。待續，回到寢室在寫