Codeforces Round #369 (div.2) 即 Codeforces 711
CodeForces Round #369 (div.2) Descreption
A
有N排座位，每排有4個，這4個被分成了兩組。給出每個座位是否是空的，問是否有相鄰的座位。
B
給你一個N * N的幻方，其中缺了一個格子，要求你填上。
C
有N個點M種顏色，有些點沒有顏色。給出了每個點分別染色成每種顏色的代價，要求染色後顏色的段數等於K。求最小代價。
D
有N個點，每個點有一條出邊，你可以任意轉換邊的方向。問有多少種方案，使得整個圖沒有環。
E
一年有2 ^ N天，有K個人。問有兩個人生日在同一天的概率。請輸出最簡分數，同時最簡分數的分子分母還要取模。
CodeForces Round #369 (div.2) Solutions
A
直接檢查即可，注意字串的讀入。
B
任取一個已經填滿的行，算出和，求出空白，再驗證：
- 行，列，主對角線的和是否一樣。
- N是否為1。
- 答案是否為負數。
C
一個顯然的DP。對於每個點只需要紀錄兩個狀態：該點的顏色、從1到該點的顏色段數。轉移時只要列舉下一個點的顏色（如果未確定），再判斷顏色段數是否增加（即是否和當前顏色一樣）即可。複雜度O(N ^ 4).
優化:
D
- 首先可以看出這個圖是一個環套樹的森林。（瞭解一下環套樹的概念）
- 考慮一個環套樹：對於一個無向環，只有兩種反轉會使得他變成一個有向環。對於不在環上的邊，是否取反顯然無關。那麼這個環套樹的方案即(2 ^ M - 2) * 2 ^ (N - M)，其中N是環套樹的點數，M是環的大小。
- 不同的連通塊的答案顯然可以相乘。
E
這個題的答案是一個顯然且經典的問題。設一年有N天，一共有K個人，那麼所有人的生日都不在同一天的概率（即答案的補）為(N - 1) * (N - 2) * … * (N - K + 1) / N ^ K. 詳細證明見《演算法導論5.4.1》。
接下來的任務是約分。因為天數是2 ^ N，所以只用計算分子中有多少個2即可。觀察下分子，發現分子中2的個數和-1 to -K + 1中的個數一樣，即和1 to K - 1中的個數一樣。統計1 to K - 1中2的個數是個十分簡單的問題，分別計算2的冪的出現次數並求和即可。
最後要對分子和分母取模。分母取模是一個快速冪的事情。觀察到模數特別小，而分子是一段連續數的連乘，且約去的數只有2（因為2和Mod互質，所以不用擔心Mod的倍數除2後不再是Mod的倍數）。所以當K超過Mod時必然有Mod的倍數出現，那麼取模後等於0。若K不超過Mod即K不超過1000003，暴力計算即可。
當然別忘了取補。