最小費用最大流 zkw演算法
為點
的距離標號，任何一個最短路演算法保證，演算法結束時對任意指向頂點、從頂點
出發的邊滿足
（條件1），且對於每個存在一個使得等號成立（條件2）。換句話說，任何一個滿足以上兩個條件的演算法都可以叫做最短路，而不僅僅是 SPFA、Dijkstra，演算法結束後，恰在最短路上的邊滿足
。在最小費用流的計算中，我們每次沿
的路徑增廣後都不會破壞條件 1，但是可能破壞了條件 2。不滿足條件 2 的後果是什麼呢？使我們找不到每條邊都滿足新的增廣路。只好每次增廣後使用 Dijkstra，SPFA 等等演算法重新計算新的滿足條件 2 的距離標號。這無疑是一種浪費。KM 演算法中我們可以修改不斷修改可行頂標，不斷擴大可行子圖，這裡也同樣，我們可以在始終滿足條件 1 的距離標號上不斷修改，直到可以繼續增廣（滿足條件 2）。回顧一下 KM 演算法修改頂標的方法。根據最後一次尋找交錯路不成功的 DFS，找到
，左邊的點增加
，右邊的點減少。這裡也一樣，根據最後一次尋找增廣路不成功的 DFS，找到
，所有訪問過的點距離標號增加。可以證明，這樣不會破壞性質 1，而且至少有一條新的邊進入了的子圖。演算法的步驟就是初始標號設為
，不斷增廣，如果不能增廣，修改標號繼續增廣，直到徹底不能增廣：源點的標號已經被加到了
。這樣我們得到了一個簡單的演算法，只需要增廣，改標號，各自只有 7 行，不需要 BFS，佇列，SPFA，程式設計複雜度很低。由於實際的增廣都是沿最短路進行的，所以理論時間複雜度與使用 SPFA 等等方法的連續最短路演算法一致，但節省了 SPFA 或者 Dijkstra 的運算時間。實測發現這種演算法常數很小，速度較快，employee 這道題所有資料加在一起耗時都在 2s 之內。由於沒有找到參考程式，與 SPFA 實現的速度比較大家可以自己評測。
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