高中課本“函式近代嚴格定義”有赤裸裸錯誤

                    ——y=f(x)中的對應法則f≠函式y=f(x)

                                黃小寧（通訊：廣州市華南師大南區9-303 郵編510631）

     [摘要]指出：變數y與x之間的函式（對應）關係f與該關係中的函式y是兩根本不同概念即y=f(x)中的對應法則（關係）f≠函式y=f(x)，y與f有種種非常明顯的區別；“函式概念是中學生感到最難學的數學概念之一”的原因不是學生們的學力太低而是教材與教學有赤裸裸的概念性錯誤：指鹿為馬地將對應法則（對應關係）f說成是f中的函式y，從而將學而思的學生搞糊塗了。恢復函式的本來面目：f中的對應變數y，就能使中學生感到函式概念是最簡單易學的數學概念之一。

     [關鍵詞]函式的近代嚴格定義；赤裸裸錯誤；函式關係與該關係中的函式是兩根本不同概念

交通法則f：“紅燈停綠燈行”規定汽車的“行”與“停”與燈的顏色有對應（函式）關係。法則f是規定和約束汽車如何隨燈的顏色的變化而行或停的一種規定。將汽車看成是質點y，其隨著燈的顏色的變化而行或停，小學生都知y不是法則（規定）f本身而是f所約束其運動狀態的車。對應關係（法則f）所約束的物件與法則本身是兩根本不同概念。規定誰與誰有怎樣的對應關係的規定以及該對應關係本身，與“誰”是兩根本不同概念。小學生都懂“對應”的含義。運演算法則f：i×i=-1中的法則f≠i和-1也≠運算過程。由除法的運演算法則f：...，可算出5÷3=1.666...；小學生都知法則f≠3和5也≠運算過程。

當所說集合是數集時所謂“x的函式y”就是自變數x的對應變數y，所謂“y與x有函式關係”就是“y與x有對應關係”，即：函式=對應變數，函式關係=對應關係。極顯然：對應變數y=f（x）≠對應關係（法則）f，y是構成關係f的兩個變數x、y中的y。只會背書者不知道函式關係與函式雖只有兩字之差，卻表示兩根本不同概念；將兩者混淆是概念性錯誤。x與y=x+1有大小關係f：x+1>x；但f中的x+1≠f，“x+1=f”是常識性錯誤。初中生都懂一種關係f和該關係中的數是兩根本不同概念。張三和李四有上下級關係f：張三是排長，李四是班長；但張三和李四都不是此關係本身而是此關係f中的人。一種關係和構成此關係的成員、要素是兩根本不同概念。A與B的元x與y有一一對應關係：x↔y=f（x），但y≠此關係本身，而是此關係中B的變元。

集A一元x按變換法則f變為y=f（x）而另一元x+△x按≠f的變換法則g變為y=g（x+△x）；這是不同的元按不同的變換法則進行變換的變換。對應法則f：f(x)=y=2x是說括號內的變數x只能與2倍於己的數對應，這f並不隨x變為x+△x而變為≠f的g，即若括號內的變數是x+△x時，其也只能與2倍於己的數2（x+△x）相對應。可見對應法則f不是隨x的變化而變化的變數。變換法則g：g（x）=y=5x。y=f(x)=2x=2（x=1時）中的y=2是數，而f就不是數而是一種規定：f(x=1)=2x=2即規定x=1只能與二倍於己的數相對應，亦即規定y與x=1的函式（對應）關係只能是y=2x=2。

同一個數學表示式y=f(x)=2x既可表示（規定x只能與2倍於己的數y對應的）對應法則f以及表示y與x有怎樣的函式（對應）關係，也可表示y=2x是隨x的變化而變化的變數。對錶達式所表達的內容不能只有一知半解的膚淺認識。

 “D各元x只能與10x對應”這一對應法則（關係）h可用數學表示式表為：對應關係（法則）h：y=h(x)=10x，x∈D。法則h中的對應變數10x才是x的函式。可見可將“對應法則”說成“對應關係”，正如可將“對應法則”說成“變換法則”一樣。對映y=h(x)=10x（即對映h：D→R）表示D各元x都有元10x∈R與之對應，但這一對映h本身不是函式（=對應變數）y。

對應（函式）關係y=f(x)=2x規定y與x的對應關係是y二倍於x，這一對應關係（函式關係）不隨x變為x+△x而改變。鮮明對比的是函式y=f(x)是隨x的變化而變化的變數：函式y=f(x)=2x(△y=2△x)隨x變為x+△x≠x而變為y+△y=y+2△x≠y=2x即f(x+△x)≠f(x)。可見函式與函式關係（即對應關係）是兩根本不同概念。變數y=f(x)是x的函式，而規定y如何隨x的變化而變化的固定法則f不是x的函式。變數y=f(x)=2x→0有極限0而法則f不是隨x的變化而變化的變數從而沒有極限0；由大到小取值的變數y=2x→0可變到≈0而法則f不可變到≈0，因其與0沒距離關係。誰見過有“由大到小取值的對應法則、函式關係f”？函式y=f(x)也可表為y=y(x)——表示y是x的函式，但y(x)中的y不是對應法則而是x的函式。對應法則f′：y=f′(2x)=2(2x)與法則f是相同的法則——都規定括號內的數只能與2倍於己的數對應。不少書本有“函式有兩要素：定義域與對應法則”——僅從此語就可一眼看出對應法則f是確定一函式關係y=f(x)從而確定一函式y=f(x)的要素而非此函式y本身，正如定義域是確定一函式的要素而非此函式本身一樣。若“對應法則f=函式y”成立則對應法則相同的函式就是同一函式，那麼課本中的“定義域與對應法則都相同的函式才是同一函式”就不成立。

法官若將兩根本不同概念混淆就會將無罪人判為有罪人，將有罪人判為無罪人。這樣的法官對社會的危害極其重大！同樣，育人的課本將兩根本不同概念混淆就會將學而思的學生搞糊塗，因學生們做夢都不敢懷疑教科書有指鹿為馬的概念性錯誤。有數學家說: 搞錯概念,腦子會變成一團漿糊。“以嚴格、嚴密為生命”的數學出現概念性錯誤是要命的錯誤。函式關係是自變數與因變數之間的互為對應關係。變數x與對應變數-x有互為相反數的對應（函式）關係，但x的函式-x不是此函式關係本身而是構成該關係中的x的對應變數。

一函式2x（x>0且>>1或<<1）有相比下距0很遠（或很近）的關係，而一對應法則（函式關係）或一種對映就與0沒這種關係，因其與0沒距離關係。當x>0且<<1時函式y=F(x)=x2≈0而對應法則F並不≈0，因F是規定x只能與x倍於己的數對應的一種規定從而與0沒距離關係。有的函式≈0，有的函式不≈0，鮮明對比的是誰見過有“此對應法則（函式關係）或對映f距0很遠而彼對應法則（函式關係）或對映g距0很近”？函式2x與各實數r有距離關係，而確定一函式關係的對應法則及“對映”與各r是沒距離關係的。函式y可有增量（y的變化量）和變化率而對應法則及“對映”是沒有增量和變化率的，因其不是變數。函式y(x)是變數而必有變域和可取正、負數，而對應法則f不是變數當然也就沒變域（變域是數集）更不可取什麼數。顯然x與y可分別是x軸、y軸上有運動方向的動點的座標，而規定x與y之間有怎樣的對應關係的對應法則f不是數軸上動點的座標x與y，更談不上有正負號的問題。各函式與0都可比較大小而有>0及<0的函式，變數之間可有大小關係，例x>0的函式2x>x，...。有>0及<0的對應法則嗎？對應法則之間可有大小關係嗎？誰見過有“法則f>法則g”？函式4x兩倍於函式2x，2x≠0是4x的1/2；誰見過有“法則a兩倍於法則b, 法則b是法則a的1/2”？ 函式y=g（x）→7可無窮逼近7而與7有距離關係。而函式關係（對應關係）、對應法則就不可逼近哪個數，因其與數之間沒距離關係。數與數之間才能有距離關係。函式y即實變數y與任何固定實數c有距離關係和大小關係，而對應法則、函式關係與c沒距離關係沒大小關係。有許多函式有極值，而各對應法則（關係）、對映都無極值。例y=F(x)=x2≥0有極值0，而對應法則F不可=0。不少函式有最大（小）值，例函式y=6x≥2有最小值，而各對應法則（關係）、對映都無最值，因其不是變數或常數。對應變數即函式y固定一下就是固定數∈R，而對應法則（關係）即函式關係、對映能是變數從而可固定一下∈R嗎？若函式y=函式z則y-z=0，但“若對應規則f=g則f-g=0”是錯誤的，因“兩函式相等”與“兩函式關係（對應關係、法則）相等”是兩根本不同概念。概念性錯誤是根本性錯誤。

以上說明對應法則f與f中的函式y=f(x)有一系列非常明顯的區別。然而中外許多課本竟大同小異地有將函式和函式（對應）關係f混為一談，以及將函式即變數的變化過程與函式本身混為一談的說法。例不少書本有說法b：“函式是從自變數的輸入值產生出輸出值的一種法則或過程。”（申大維等譯《數學的原理與實踐》，高教出版社、德國施普林格出版社，1998）。又例高中課本有函式定義d：A與B是非空數集，若有一確定的對應關係（法則）f使對A任何元x，B中總有唯一的一個元y（x）與它對應，這對應關係（對映）f叫做從A到B的一個函式，記為函式f：A→B，…。後來的課本將“記為函式f：A→B”改為“記為y=f(x)”。為何作此改動？這是很耐人尋味的。“函式關係f：A→B（即規定A 各數x 有對應y=f(x)∈B）”正確，而“函式f：A→B（即規定A......）”是將函式關係f中的函式y說成是f。[1]書6頁（因可將“對應法則”說成“對應關係”故定義d與此頁的定義是等價的）：“定義1.2：設x，y是兩個變數，D為一個非空的實數集，如果存在一個對應規則f，使得對於每一個x∈D都能由f唯一地確定一個實數y，則稱對應規則f為定義在D上的一個函式，記為y=f(x)，…”。其實變數y才是函式而規定變數y如何變的法則f不是函式。 [1]書6頁：“按照對應規則f：x→kx+b，y=kx+b為一線性函式。”即說對應規則f（規定x只能與kx+b對應）中的變數y=kx+b才是函式。同一本書的同一頁內一會說f是函式，一會又說f中的變數y才是函式。這是典型的思想混亂，原因是定義1.2有連“偷換概念”也遠遠談不上的概念性錯誤：指鹿為馬地將對應法則（對應關係）f說成是由f所確定的函式y。將定義1.2中的“則稱對應規則f為定義在D上的一個函式”改為“則稱對應變數y=f(x)為…”就消除此思想混亂了。[1]書7頁有說法a：“給出了一個函式就是同時給出了它的對應規則和定義域”，極顯然“它”即函式的對應規則≠它本身，正如它的定義域≠它一樣。若“對應規則=函式”成立則說法a =“給出了一個函式就是同時給出了它的函式和定義域”或=“給出了一個對應規則就是同時給出了它的對應規則和定義域”；顯然“函式的函式”與“函式的對應規則”是兩根本不同概念，請問：給出了對應規則f：x→kx+b，那麼此規則f的對應規則是什麼？廣大師生多年不察定義1.2和上述說法b是赤裸裸錯誤，就如童話故事中大人們不察光身皇帝光身那樣。教（學）而不思是師生的大敵。

對應法則f確定了函式（對應）關係f：x→y=f(x)。姚孟臣教授：“…，那麼這個關係f就叫做從X到R的函式關係，簡稱為函式，…[2]”。“大”與“犬”是兩根本不同概念，若“可將犬簡寫為大”成立則“你爸爸是大官”=“你爸爸是犬官”。糾正此極其荒唐錯誤是“小題大做”嗎？！同樣，本文作者多年前就在網上發文指出：函式關係中的函式不是關係本身而是構成此關係的變數中的對應變數，“函式=函式關係”是非常低階錯誤；一種關係和構成此關係的成員、要素是兩根本不同概念。所以“可將函式關係簡稱為函式”是非常低階錯誤。[2]書32頁有說法c：“一個函式主要是由函式關係和其定義域X所確定”，若“可將函式關係簡稱為函式”成立則教授的說法c=“一個函式主要是由函式和其定義域X所確定”；其實只有定義域X而沒函式關係即對應關係（法則）是不能確定一函式的。函式關係即對應關係中的函式與關係本身是有非常明顯的區別的。

函式定義有“對應變數”說、“對應關係（法則）”說、“對映”說、“變化過程”說；由上可見“對應變數”說才是正確的（當所說集是數集時），其它的說法都是赤裸裸的“一葉”錯誤。“一葉知秋”。

課本將函式關係與關係中的函式動點兩者混為一談,就使本來極其簡單易懂的函式概念變得“函式概念是中學生感到最難學的數學概念之一[3]”（網上章建躍《函式概念的學與教》）。函式可形象化為動點就能使學生對函式概念一看就懂。備註：本文已在“預印本”上公佈。

 參考文獻

[1]劉曉斌、向子貴主編。經濟數學基礎（一分冊） 2版[M]，汕頭：汕頭大學出版社，2002。

[2]姚孟臣。大學文科基礎數學（一）[M]，北京：北京大學出版社，1990.3：31。 [3]www.pep.com.cn/gzsx/jszx_1/jxyj/llysj/201008/t20100826_763919.htm

[4]黃小寧。不等式、集合、幾何起碼常識凸顯課本一系列重大錯誤——讓2300年都無人能識的直線段一下子暴露出來[J]，數學學習與研究，2016（5）:151。

電聯:13178840497。E-mail：[email protected]