數列、集合、邏輯學起碼常識暴露課本一系列重大錯誤

——數列起碼常識否定5千年“常識”：無最大自然數

        黃小寧（通訊：廣州市華南師大南區9-303郵編510631）

[摘要]人類自識自然數5千多年來一直認定無最大自然數。然而數列、邏輯學起碼常識凸顯各有首項的無窮數列都有末項使標準分析之前2千多年的數學一直“非法”使用的無窮大自然數及其倒數一下子暴露出來，否定這類用而不知、名亡實存的無窮數使對無窮數列的認識一直存在極重大缺陷與錯誤而將各假自然數列誤為自然數列，自然就使級數論有重大錯誤。集合起碼常識暴露中學幾百年重大錯誤：搞錯一系列函式的值域而將兩異集誤為同一集。揭示“各元可排為一無窮序列的集就是可數集”是錯誤定義。

[關鍵詞]最大及無窮大自然數及其倒數；假自然數集；推翻百年自然數公理和百年集論；級數論；著名數學家朱梧檟

“科學”共識：數學，尤其是“非常成熟”的初等數學領域絕不可有顛覆性創新，數學的公理、定理絕不會被推翻。有一種“兩個凡是”論：“凡是試圖推翻某些舉世公認的科學理論的人必是搞偽科學，凡是連‘小人物’也談不上的‘草根’絕不能有重大科學發現”。小學生都知：無最大自然數。“反科學”的“連小學生都不如”的“太無知”發現來自於太淺顯的：①集合起碼常識c：所謂數集A=B是說A的元x與B的元y可一一對應相等即有x↔y=x(表A各元x均有與之對應相等的數y∈B且B各元y均有與之對應相等的數x∈A)，故A=B的必要條件是有x↔y。②下述數列、邏輯學起碼常識。

1.集合起碼常識暴露中學幾百年重大錯誤：將兩異數列誤為同一數列

定義：若A可是由B各數分別變為一對“新”數（各“新”數互不相等）組成的集就稱A為偶型數集，否則稱A為奇型數集；相應有奇、偶型級數與數列。注！由一對對陣列成的集同時也是由一個個陣列成,但反之就不一定了。詳論見[1]。

 設兩不交且非空D、H的並集記為D+H=C。自然數集N={n}一切偶數n=2p組成E={2p}⊂N,E各元2p變為p組成V={0，1，2，...p，…}, V={p}各數p一增為二地變為一對數2p、2p+1（奇數）組成偶型N={n}={0，1，...,2p,2p+1,...}從而有p↔（2p、2p+1）一一這種“一對二”的對應使V各元p與2p或2p+1∈N配對後，N中必還有與V的元一樣多的元n均無“配偶”p∈V而成“單身”，除非拆散已配對的對子——說明N的元多於V的元使N≠V。下述表明否定此結論的“理由”是不能成立的。

N={2p,2p+1}={2p}+{2p+1}各數分別都由2p或2p+1代表，因p>0時p<2p<2p+1故各p>0代表的數均是0與2p=p+p之間的數p∈N。N中可由2p代表的數的全體組成的{2p}=N嗎？這須研究{2p}各元2p與N各元2p、2p+1能否一一對應相等？同樣，N中可由p=0，1，2，...∈V代表的數的全體組成的集記為I={p}（=V），I=N嗎?即N各數也都可由p代表嗎？這須研究I（=V）各元p與N各元n=2p、2p+1能否一一對應相等？上述已闡明I=V各元p與N各元2p、2p+1不可一一配對，據集合常識cN≠I。所以正如N各數並非都能由2p代表一樣,N各數也並非都能由p∈I代表。有人證明了I各元p與V各元p能一一對應相等就斷定V=N，這是錯誤的，因這隻說明I=V而不能說明V=N。沒人能證I={p}與N={2p,2p+1}的元可一一對應相等的原因非常簡單：當p>0時說2p+1>2p>p>0中的p>0可一個不漏地遍取N一切正數就是說式中2p+1、2p可>N一切正數而取N外數——與2p+1、2p∈N矛盾！故p>0不可遍取N一切正數使I≠N；p>0被限制只能代表區間j=（0，2p+1）（2p>0可遍取N一切正偶數）內的自然數，顯然j內能由p<2p<2p+1代表的數p>0的全體是不能包含N一切正數n=2p、2p+1的。

故自有函式概念幾百年來一直公認的中學“值域為E={2p}的y=2p 的定義域V={p}=N”是被無窮數列的假象迷惑而將兩異數列誤為同一數列。

同理可證：V各元p變為三個數3p、3p+1、3p+2組成{3p，3p+1，3p+2}的元多於V的元p；N各元n變為三個數3n、3n+1、3n+2組成N′的元多於N的元n使N′≠N是假N；...。

2.數列、邏輯學起碼常識讓5千年都無人能識的N={n}的最大自

  然數一下子暴露出來——級數論有重大錯誤

數列起碼常識：無窮數列A={a_n}（其中沒相等的數）各數a_n均有序號數n與之配對而均在第n號位置。A各數任意改變前後位置後就形成≠A的數列了，故A是由數與容納數的位置兩部分組成，A一個項有兩要素：一個數與其所在位置，缺少哪一要素都不能構成一個項。所以相應各數與各位置序號數n一一配對才能構成一數列；相應各位置與各位置序號數n一一配對才能構成一位置序列。可將A比喻為一列“坐滿”數的只有單排座位的無窮長列車,各數a_n均“坐”在n號座位上;各數可任意改變前後順序地移位但不可移出列車的“單人”座位外,移位後列車A改“名”為列車B。挖去R軸一點x就空出一位置“洞”x說明R軸由點與容納點的位置洞兩部分組成。R軸的自然數點序列N={n}無非是各點n各就各位地進入各指定位置“座位”排成的一行點（將N全部點n挖去就得空位序列：0號位，1號位，2號位，...），“無窮旅館”N的數n都“住”在n號“房間”內，一ｎ前移“奪佔”ｎ′的座位的同時其原座位也變空，故被奪位的數都可後移到空位上。級數論的“黎曼更序定理”說明人們早就知道數列N={0，1，2，3，...}各數可任意改變前後位置，例其偶數n=2p均與奇數n=2p+1交換位置就得還是由N全部數與全部位置組成的B={1，0，3，2，...}，顯然B各數都在N的位置內；同樣...。故據數列起碼常識有

h邏輯學常識1：數列A各數任意改變前後位置形成的數列（還由A全部數與位置組成）的各數與位置座位還是已一一配對；所以無論怎樣改配對方案，在各新配對方案下構成的新數列的各數都在舊數列的位置內。

  所以N各奇數n=2p+1可保序前移到p（=0，1，2，...）號位（即各2p+1改與p號位配對），而各偶數n=2p可保序後移到空位內得數列K：1，3，5，…；0，2，4，…。據h邏輯學常識1K各數都在N的位置內：1在0號位，3在1號位，…，0排在各奇數的後面而處在第w號位，2在w+1號位，...。不能想當然地簡單認定後移的各偶數2p不在N的位置內,這種思想是違反數列起碼常識的，對無窮現象須特別小心謹慎、過細，否則就要出錯。K各奇數2p+1（p=0，1，2，...）在p號位，所有p組成V，顯然w號位中的w與w+1等等都是V={0，1，2，...p，…}外標準無窮大自然數從而>V一切數p（V有上界就必有上確界）——推翻中學5千年“常識”：無自然數能>V一切數。顯然用而不知的w的倒數1/w＜任何有窮正數ε是用而不知的無窮小正數。“標準分析之前2千多年的數學一直使用未經嚴格證明的無窮數進行推理計算輕而易舉地攻克了不用無窮數就無法解決的一系列世界難題，只不過對這類舉足輕重的‘更無理’數一直無力實現由感性認識躍升到理性認識罷了^[2]；”“尤拉毫不猶豫地承認無窮小的數和無窮大的數都是客觀存在的，並且如此純熟地應用這些概念…^[3] ”。顯然K中偶數2p都處在K一切奇數2p+1的後面而都與1相隔無窮多個數，故K中有無窮多首項的數是1，末項的數是2p的無窮數列（各數列互不相等）。

 同上理，如[4]所述N={n}各非0數1，2，3，…可保序前移一格到p號位，而0可後移到空位內從而得數列1，2，3，...，0；即各n≥1改與n-1號位配對後，0就移到各非0數的後面而處在第Ω號位，顯然Ω是N的最大自然數（下節更有力地證明Ω的客觀存在性）——推翻百年自然數公理。同理可證V={0，1，2，...p，…}有末項，可證各有首項的固定無窮數列都有末項。可見V⊂N（下節還要作更有力證明），形如{0，1，2，...p，…}的集不一定是N，正如“有鬍子的不一定是爹”一樣。所以許多書都有的“定理：集A是可數集的充要條件是：A可排為一無窮序列：...。”其實是百年錯誤。文[5]有一改天換地的改偶定理：

 h定理1：各x與各y一一配對成一無窮“夫妻”數偶集F={（x，y）}內“男、女”雙方中有“人”“喜新厭舊另結新歡”改配偶使有的人變成“單身”後，一方出多少個單身，對方也只能出多少個單身。

 證：F中任一非“單身”改與另一非單身配為新夫妻的各自原配偶x₀與y₀就成一對單身，一單身x₀“再婚”就或使對方一單身也再婚或拆散一對夫妻（x₁，y₁）而生一新單身x₁，...，沒別的可能。故F中非單身任意改配偶(新配偶必是F中人)後一方出n個單身的同時對方也只能出n個單身。

 例兩N成二重集N∪N由一對對二重元（n，n）組成集{（0，0）（1，1）（2，2）…}=N，其中一N各數改配偶而形成{（0，1）（1，2）（2，3）…}還=N；顯然其中的兩個0都可有非0配偶，雖然兩0之間相隔無窮遠。這說明不論在何配對方式下兩N的數都必可一一配對而不是隻有按某特殊配對方式（例n↔n）才可，只不過各數不一定都按同一配對方式進行配對罷了。某人說:我能跳高5米但只能通過特殊途徑例電影來間接“證明”此“事實”。這顯然是騙子。同樣若G=N則G=N各元y與N各元x不論在何配對方式下都必可一一配對而不是隻有按...才可，否則“一樣多”是不合邏輯的假象；所以在G各非0數y′≥1都分到配偶x=y′-1∈N的同時G的0也必可按另一配對方式有配偶（Ω）∈N。為迷惑敵人將第3團改名為“第3團第3營”後還是改名前所有人與武器組成的集體，敵人誤認其僅是3團的1/3部分是犯致命錯誤。同樣“無窮旅館”N各房間與各數n已一一配對：n號房↔n，將各房間的房號數n都塗改為2n而改稱是2n號房就得百年假象：一部分房間可與N全部數n一一配對——“幼稚小孩”階段的數學以為“魔術師”真能將奇數號房給變沒了。證畢。

 此定理表明h邏輯學常識1是正確的。應有

 h邏輯學常識2：偶型數列N={0，1，2，3，4，...}中偶數與奇數可一一配對，因這性質與各數在哪一位置無關故這性質不因N中各數的位置的改變而改變。顯然應有

 h邏輯學常識3：凡滿足“其各項可兩兩配對且每對項的數的代數和都是0”的級數必=0，不論其是否發散。

 將數列N中偶數都用-1置換，奇數都用1置換就得{-1，1，-1，1，-1，1，…}，相應有偶型s=-1+1-1+1-1+1-...=0；s是否=0完全取決於s中的-1和+1是否可一一配對而與某極限是否存在無關，與各-1和+1所處位置無關。數列K=｛1，3，5，…；0，2，4，…｝中奇數都用-1置換，偶數都用1置換就相應有偶型級數g=（-1-1-1-...）+（1+1+1+...）=0，因K中偶數與奇數可一一配對。所以級數論斷定s≠0和g≠0是違反h邏輯學常識的幾百年重大錯誤，癥結是幾百年來一直不知級數與數列是有奇、偶型之分的，不知：不存在沒末項的無窮級數。世界數學大師尤拉在一片反對聲中超越前、後人地“頑固”堅信：任何級數不管是否發散都有一個確定的和或值。（張文修《數林漫步》25頁，陝西科技出版社，1984）應有起碼邏輯學常識：固定的無窮數列{a_n}各數f（n）變號為-f（n）形成新數列，兩數列所有數f（n）、-f（n）的代數和：∑f（n）-∑f（n）必=0，因各正、負數可一一配對且此性質不因各數在級數中的位置的改變而改變。所以“無窮多個數相加是不能完成的”是片面認識。凡不合邏輯的理論必是不符合實際的錯誤理論。

3.再證N有最大元推翻百年集論——朱梧檟等4位數學家的

  “怪論”其實是重大發現

 h定理2：若非空A～B⊂無窮集C=(C-B)+B則A不可～C。

 證：用反證法。假設A～C成立則在A、C雙方的元一一配對後再令A各元x都改與C=(C-B)+B中B～A的元y配對從而有x↔y∈B後，A～B⊂C就有0個單身，據h定理1（改偶定理）C=(C-B)+B也只有0個單身，然而事實上(C-B)各元都是單身，故假設不成立。證畢。據h定理2有

 h推論：無窮集W的任何真子集⊂W都不可～W。

  所以“可～其真子集”的“無窮集”確如朱梧檟、肖奚安、杜國平、宮寧生4位數學家所說“都是自相矛盾的非集^[6]”，正如不存在既跑得快而又絕了食的馬一樣。以非集為集的理論必是錯上加錯的更重大錯誤。

  V={0，1，2，...p，…}各數p變為2p、2p+1組成N=｛2p｝+｛2p+1｝。據h定理2由V={p}～｛2p｝⊂N知V不可～N，據集合常識cV≠N。同樣...。

 N各數n≥0的後繼y=n+1≥1的全體組成H={1，2，...，n+1，...}～N, 中學一直認定H=H′={1，2，...，n≥1,...}=N-｛0｝⊂N；其實這是將兩異數列誤為同一數列。據h推論～N的H不是N的真子集H′⊂N。因H′各數n≥1都是n-1∈N的後繼n∈後繼集H，故H包含H′；包含H′的H≠H′說明H中必至少有一H′外的正整數y₀=n₀+1>n₀∈N，顯然n₀=Ω是N的最大元——其後繼Ω+1是H′⊂N外即N外數。人類由認識自然數到發現Ω竟須歷時5千多年！

 其項不斷由n個增加到n+1個的數列是變數列B：由{0}變到{0，1}變到{0，1，2}變到…，當且僅當其項不再增加而有末項時B才成固定數列N。“潛無窮”觀認為不可有包含無窮多個項的固定數列，“實無窮”觀認為可有此類無窮數列，但又斷定其沒末項；這是不合邏輯的自相矛盾。設x軸包含N一切點，能將N全部點取出的x必使軸內∈N的點不斷變少，最後使軸內無∈N的點；顯然當且僅當此x取到某點∈N後，軸內就無∈N的點了，才能說x的變域可是N。說由小到大取值且變域為N的n每取一數n∈N後總還有後續數n+1∈N要取而總不能取到無數∈N可取，顯然就是說n不可取光N一切數——與“n的變域為N”矛盾！由小到大取值且變域為無窮有序集T=[a, b]的x必有最後一次的取值：取至b後就無數可取了，即其取數過程是有完有了、有始有終的（“潛無窮”觀認為不可有包含無窮多個元的集）。這是“無窮”與“有窮”的對立統一性在數學中的生動體現。關鍵：對人而言T內數多得取之不盡，但人所創立的符合實際的抽象理論中的變數卻能一個不漏地遍取其變域T的一切數，正如人造的機器人等能幹人所不能幹的事一樣。所以無人能將無窮級數的項都寫出來≠其沒末項。

與x相異或相等的數均可表為y=x+△x（△x可=0也可≠0）。

h定理3：集隨元的變換而變換。不含負數的有序數集A各元x保序變為y（x）=x+△x組成元為y的B，若B=A則此變換隻能是恆等變換即必是x↔y=x。

證1：保序變換可分為恆等變換與非恆等變換兩種。比x大（小）的數y可稱是在x前（後）面的數y。A={0，1，2 }各元x保序變為y=x+△x=2x組成{0，2，4 }各元2x與A 各x不可一一對應相等，各x=0，1，2只可與各2x=x+x中的x=0，1，2一一對應相等。同樣，…。這說明任何有序數集A各元x保序變為y=x+△x不≡x組成B各元x+△x與A各x不可一一對應相等（各x只可與各x+△x∈B中的x一一對應相等），因≠x的各x+△x都在x的前（後）面。在x↔y=x+△x（△x≡0時x不≡0）中顯然當且僅當△x≡0時才可有x↔y=x。注：式中若△x≡0時x也≡0則有0↔0。

證2：A各元x到0的距離就是x本身。若B=A則不含負數的A（B）各元x（y）到0的距離是變數x（y），顯然因A與B是同一集故x與y必是同一距離變數即y=x——恆等變換式（注：y是由x變為y=x+△x而來的）。證畢。

設R所有非負元x≥0組成R⁺，R⁺各元x≥0保序變為kx（正常數k≠1）≥0（從而有x↔y=kx）組成的集可記為kR⁺。據h定理3kR⁺≠R⁺。R⊃D=[0，1]各元x（非負數）保序變為y=x^n≥2組成J，據h定理3J≠D；...。所以中學幾百年函式“常識”：kR⁺=R⁺，J=D等等，其實是違反集合常識c的一系列重大錯誤。

 Z′=[0，2]⊂R⁺的子部D=[0，1]⊂Z′各元x變為X=2x∈Z′生成元為X=2x的Z=[0，2](～D)⊂2R⁺≠R⁺。據h定理2，Z～D⊂Z′不可～Z′，據集合常識cZ′≠Z。故中學幾百年“Z=Z′”其實是將兩異集誤為同一集的肉眼直觀錯覺。用h定理2檢驗知課本上類似這樣將不“等勢”的兩異集誤為同一集的錯誤比比皆是，沒能及時發現使康脫推出康健離脫的病態理論。

 4.結束語

錯誤的基礎教育會使受教育者打歪成才的基礎。破除迷信、解放思想、實事求是才能創造幾千載難逢的神話般世界奇蹟使數學發生革命飛躍：一下子飛躍進認識Ω的時代從而不再被違反集合常識c的假無窮集迷惑。百年集論百年來浪費了億萬學生（包括物理、哲學、邏輯學專業的學生）大量寶貴時間（“時間就是金錢，…”）與精力以及億萬元寶貴學費。育人課本的重大錯誤造成的重大經濟損失一點也不亞於經濟建設的重大錯誤造成的經濟損失，是否及時糾正與每一人的切身利益息息相關。備註：已對本文采取法律公證等法律保護措施。

      參考文獻

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[8]黃小寧。課本一系列重大根本錯誤：將兩異圖形（數列）誤為同一圖形（數列）——書中x軸確如朱梧檟等4位數學家所說“是自相矛盾的非集”[J]，科技視界，2015（3）：332。

[9]黃小寧。中學極重大根本錯誤：無窮數列必無末項——“一對一”常識推翻五千年科學“常識”：無最大自然數[J] ，科技資訊，2011（1）：51.

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