最近做相關濾波追蹤的時候，遇到了瓶頸，所以想從頭到尾理一理基礎知識。

1、概念

      相關函式是描述訊號X(s),Y(t)（這兩個訊號可以是隨機的，也可以是確定的）在任意兩個不同時刻s、t的取值之間的相關程度。兩個訊號之間的相似性大小用相關係數來衡量。定義：

稱為變數 X 和 Y 的相關係數。若相關係數 = 0，則稱 X與Y 不相關。相關係數越大，相關性越大，但肯定小於或者等於1.。相關函式分為自相關和互相關。下面一一介紹

（1）、自相關函式

    自相關函式是描述隨機訊號 x(t) 在任意不同時刻 t1,t2的取值之間的相關程度。定義式：

主要性質如下：

（1）自相關函式為偶函式，其圖形對稱於縱軸。
（2）當s=t 時，自相關函式具有最大值，且等於訊號的均方值，即
（3）週期訊號的自相關函式仍為同頻率的週期訊號。

（2）、互相關函式

      自相關是互相關的一種特殊情況.。互相關函式是描述隨機訊號 x(t)、y(t) 在任意兩個不同時刻s，t的取值之間的相關程度,其定義為：

對於連續函式，有定義：

對於離散的，有定義：

從定義式中可以看到，互相關函式和卷積運算類似，也是兩個序列滑動相乘，但是區別在於：互相關的兩個序列都不翻轉，直接滑動相乘，求和；卷積的其中一個序列需要先翻轉，然後滑動相乘，求和。所以，f(t)和g(t) 做相關等於 f*(-t) 與 g(t) 做卷積。

       在圖象處理中，自相關和互相關函式的定義如下：設原函式是f(t)，則自相關函式定義為 R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷積；設兩個函式分別是f(t)和g(t)，則互相關函式定義為R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是兩個函式在不同的相對位置上互相匹配的程度。

2、物理意義

      兩個相關函式都是對相關性，即相似性的度量。如果進行歸一化，會看的更清楚。
自相關就是函式和函式本身的相關性，當函式中有周期性分量的時候，自相關函式的極大值能夠很好的體現這種週期性。互相關就是兩個函式之間的相似性，當兩個函式都具有相同週期分量的時候，它的極大值同樣能體現這種週期性的分量。

      相關運算從線性空間的角度看其實是內積運算，而兩個向量的內積線上性空間中表示一個向量向另一個向量的投影，表示兩個向量的相似程度，所以相關運算就體現了這種相似程度。