【Python】如何生成柯西分佈隨機數

阿新 • • 發佈：2019-01-15

Python中生成標準柯西分佈的函式是：numpy.random.standard_cauchy(size)，

我就在想，能否生成一個非標準的柯西隨機數呢？那麼面臨幾個問題：

（1）標準柯西隨機數和非標準可惜隨機數之間有沒有之間轉化關係？（沒有）

（2）柯西隨機數是怎麼生成的？

（3）柯西隨機數與概率密度有關，還是與概率分佈有關？

帶著這幾個問題，我首先查了什麼是柯西分佈，包括密度函式、概率分佈函式的表示式（來自：百度百科）。

柯西分佈也叫作柯西一洛倫茲分佈，它是以奧古斯丁-路易-柯西與亨德里克-洛倫茲名字命名的連續概率分佈，如圖所示。其概率密度函式為

式中：

為定義分佈峰值位置的位置引數；

為最大值一半處的一半寬度的

尺度引數。作為概率分佈，通常稱為柯西分佈，物理學家也將之稱為洛倫茲分佈或者Breit-Wigner分佈。在物理學中的重要性很大以部分歸因於它是描述受迫共振的微分方程的解。在光譜學中，它描述了被共振或者其他機制加寬的譜線形狀。記隨機變數 X服從柯西分佈為

的特例稱為標準柯西分佈，其概率密度函式為：

其對應的累積分佈函式為：

然後，在生成柯西隨機數時，網上有人是這樣做的（連結）：

計算得到Cauchy分佈累計分佈函式（CDF）的反函式；

使用rand()函式生成（0，1）區間上均勻分佈的初始隨機數x；

將初始隨機數代入CDF的反函式即可得到我們需要的標準Cauchy隨機數：

C(1)_x=tan((x-1/2)*pi);

顯然，上面的CDF的反函式起關鍵作用。在CDF的反函式中，概率變成自變數（對應0和1之間的隨機數），因變數就是所求隨機數（對應負無窮到正無窮的隨機數）。於是，我們可求得非標準柯西隨機數生成公式為：

C(gamma， x0)_x = gamma*tan((x-1/2)*pi) + x0 ;

即 C(gamma， x0)_x = gamma*C(1)_x + x0 ；

那麼，在python中，要得到gamma為2的非標準柯西隨機數，只需要在原來基礎上乘以2，即

C(1)_x = numpy.random.standar.cauchy(1)

C(2)_x = 2*numpy.random.standar.cauchy(1)