斐波那契數列，又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞迴的方法定義：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜誌，用於專門刊載這方面的研究成果。

斐波那契數列指的是這樣一個數列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368 特別指出：第0項是0，第1項是第一個1。

兔子繁殖問題

斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。 一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？ 我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下： 第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對 兩個月後，生下一對小兔對數共有兩對 三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對 －－－－－－ 依次類推可以列出下表：

經過月數	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
幼仔對數	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
成兔對數	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
總體對數	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

幼仔對數=前月成兔對數 成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數 總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數 可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。 設月數為n；則有 F（0）=1； F（1）=1； F（n）=F(n-1)+F(n-2);

黃金分割

隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887..…

看4

楊輝三角

將楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8、…… 公式表示如下： f⑴=C(0,0)=1。 f⑵=C(1,0)=1。 f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。 f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。 f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。 f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。 F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。 …… F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)

質數質量

斐波那契數列的整除性與素數生成性 每3個連續的數中有且只有一個被2整除， 每4個連續的數中有且只有一個被3整除， 每5個連續的數中有且只有一個被5整除， 每6個連續的數中有且只有一個被8整除， 每7個連續的數中有且只有一個被13整除， 每8個連續的數中有且只有一個被21整除， 每9個連續的數中有且只有一個被34整除， ....... 我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

數字謎題

三角形的三邊關系定理和斐波那契數列的一個聯絡： 現有長為144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長度不小於1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？ 分析：由於形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大於第三邊，因此不構成三角形的條件就是任意兩邊之和不超過最大邊。截成的鐵絲最小為1，因此可以放2個1，第三條線段就是2（為了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲儘可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和），依次為：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數之和為143，與144相差1，因此可以取最後一段為56，這時n達到最大為10。 我們看到，“每段的長度不小於1”這個條件起了控制全域性的作用，正是這個最小數1產生了斐波那契數列，如果把1換成其他數，遞推關係保留了，但這個數列消失了。這裡，三角形的三邊關係定理和斐波那契數列發生了一個聯絡。 在這個問題中，144>143，這個143是斐波那契數列的前n項和，我們是把144超出143的部分加到最後的一個數上去，如果加到其他數上，就有3條線段可以構成三角形了。 影視作品中的斐波那契數列 斐波那契數列在歐美可謂是盡人皆知，於是在電影這種通俗藝術中也時常出現，比如在風靡一時的《達芬奇密碼》裡它就作為一個重要的符號和情節線索出現，在《魔法玩具城》裡又是在店主招聘會計時隨口問的問題。可見此數列就像黃金分割一樣流行。可是雖說叫得上名，多數人也就背過前幾個數，並沒有深入理解研究。在電視劇中也出現斐波那契數列，比如：日劇《考試之神》第五回，義嗣做全國模擬考試題中的最後一道數學題~在FOX熱播美劇《Fringe》中更是無數次引用，甚至作為全劇宣傳海報的設計元素之一。

排列組合

一、一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？ 答案是144種。 利用標準斐波那契數列（0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144），答案為F（10+2）。一枚均勻的硬幣擲n次，不連續出現正面的可能情形有F（n+2）種。 二、有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法? 這就是一個斐波那契數列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法…… 1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。這不是一個標準的斐波那契數列，初始化F（0）=0，F（1）=1，F（2）=2. 同leetcode上有一道題： You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

可用遞迴實現如下：

int stairs_climbing1(int n)
{
	if (n==0||n==1||n==2) return n;
	return stairs_climbing1(n-1)+stairs_climbing1(n-2);
}

但這種方法，每計算一次F（n）之前從F（0）到F（n-1）以及F（n-2）的過程都要重複執行一次，計算時間複雜度大，無法在規定時間內完成工作。改進演算法，記錄F（0）~F（n）的值，程式碼如下：

int stairs_climbing(int n)
{
	if (n==0||n==1||n==2) return n;
	vector<int >mem(n+1);
	mem[0]=0;
	mem[1]=1;
	mem[2]=2;
	int res;
	for (int i=3;i<n+1;i++)
	{
		mem[i]=mem[i-1]+mem[i-2];
	}
	return mem[n];
}

擴充套件

由上例可以看出，當初始值不一樣時，F（n）=F(n-1)+F(n-2)就可能會有不一樣的結果。

斐波那契—盧卡斯數列

盧卡斯數列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數列同樣的性質。（我們可稱之為斐波那契—盧卡斯遞推：從第三項開始，每一項都等於前兩項之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2）。

佩爾數列

1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（該類數列的這種特徵值稱為勾股特徵）。 佩爾數列Pn的遞推規則：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1). 廣義斐波那契數列 類推到所有根據前兩項匯出第三項的通用規則：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，稱為廣義斐波那契數列。 當p=1，q=1時，我們得到斐波那契—盧卡斯數列。 當p=1，q=2時，我們得到佩爾—勾股弦數（跟邊長為整數的直角三角形有關的數列集合）。 當p=2，q=-1時，我們得到等差數列。其中f1=1，f2=2時，我們得到自然數列1，2，3，4…。自然數列的特徵就是每個數的平方與前後兩數之積的差為1（等差數列的這種差值稱為自然特徵）。 具有類似黃金特徵、勾股特徵、自然特徵的廣義——斐波那契數列p=±1。 當f1=1，f2=2，p=2，q=0時，我們得到等比數列1，2，4，8，16…… 本文參考：
http://baike.baidu.com/link?url=uYAPJgZmzQDU8wuN0H4QjB1nBUqRPtNeNz5yAzDGpcUWhBqT6KNGvvC-9iroF6TxScwngt_jM4-6XGQDppiKEK

我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下： 第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對 兩個月後，生下一對小兔對數共有兩對 三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對 －－－－－－ 依次類推可以列出下表：

經過月數	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
幼仔對數	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
成兔對數	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
總體對數	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

幼仔對數=前月成兔對數 成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數 總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數 可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。 設月數為n；則有 F（0）=1； F（1）=1； F（n）=F(n-1)+F(n-2);

黃金分割

隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887..…

看4

楊輝三角