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資料結構與演算法的分析 —— 漸進複雜度（三個記號）

阿新 • • 發佈：2019-01-15

對於某些問題，一些演算法更適合於用小規模的輸入，而另一些則相反。幸運的是，在評價演算法執行效率時，我們往往可以忽略掉其處理小規模問題時的能力差異，轉而關注其在處理大規模資料時的表現。道理是顯見的，處理大規模的問題時，效率的些許差異都將對實際執行效率產生巨大的影響。這種著眼長遠，更為關注時間複雜度的總體變化趨勢和增長速度的策略和方法，即所謂的漸進分析（asymptomatic analysis）。

1. 大 O 記號

出於保守的估計，我們首先關注 T(n) 的漸進上界，為此引入大 O 記號。具體地，若存在正的常數 c 和函式 f(n)，使得對任何 n>>2 都有：

T(n)
≤c⋅f(n)
則可認為在 n 足夠大之後，f(n) 給出了 T(n) 增長速度的一個漸進上界，此時，記之為：
T(n)=O(f(n))
由這一定義，可匯出大 O 記號的以下性質：

  • （1）對於任一常數 c>0，有 O(f(n))=O(c⋅f(n))

    取 c′>c，則c⋅f(n)≤c′⋅f(n)

  • （2）對於任意常數 a>b>0，有 O(na+nb)=O(na)

    na+nb≤2⋅na

2. 大 Ω 記號

為了對演算法的時間複雜度最好情況做出估計，需要藉助另一個記號，如果存在正的常數 c 和函式 g(n)，使得對於任何 n>>2 都有：

T(n)
≥c⋅g(n)

就可以認為，在 n 足夠大之後，g(n) 給出了 T(n) 的一個漸進下界。此時我們記之為：

T(n)=Ω(g(n))

與大 O 記號恰好相反，大 Ω 是對演算法執行效率的樂觀估計，對於規模為 n 的任意輸入，演算法的執行時間都不低於 Ω(g(n))。

3. 大 Θ 記號

藉助大 O 記號，大 Ω 記號，可以對演算法的時間複雜度做出定量的界定，亦即，從漸進的趨勢看，T(n) 介於 Ω(g(n)) 與 O(f(n)) 之間。若恰巧出現 g(n)=f(n) 的情況，則可以使用另一個記號表示，如果存在正的常數 c1<c2和函式 h(n)，使得對於任何 n>>

2，都有，

c1⋅h(n)≤T(n)≤c2⋅h(n)

就可以認為在 n 足夠大之後，h(n) 給出了 T(n) 的一個確界，我們記之為：

T(n)=Θ(h(n))

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