演算法案例:

主要有輾轉相除法、更相減損術、秦九韶演算法、k進位制化十進位制的演算法。

輾轉相除的定義：

所謂輾轉相除法，就是對於給定的兩個數，用較大的數除以較小的數。若餘數不為零，則將餘數和較小的數構成新的一對數，繼續上面的除法，直到大數被小數除盡，則這時較小的數就是原來兩個數的最大公約數。

更相減損術的定義：

就是對於給定的兩個數，用較大的數減去較小的數，然後將差和較小的數構成新的一對數，再用較大的數減去較小的數，反覆執行此步驟直到差數和較小的數相等，此時相等的兩數便為原來兩個數的最大公約數。

比較輾轉相除法與更相減損術的區別：

（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。
（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除餘數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到。

輾轉相除法的一個程式演算法的步驟：

第一步：輸入兩個正整數m,n(m>n).
第二步：計算m除以n所得的餘數r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,則m,n的最大公約數等於m；否則轉到第二步.第五步：輸出最大公約數m.

更相減勳術的一個程式演算法步驟：

第一步：輸入兩個正整數a,b(a>b);
第二步：若a不等於b,則執行第三步；否則轉到第五步；
第三步：把a-b的差賦予r;
第四步：如果b>r,那麼把b賦給a,把r賦給b;否則把r賦給a，執行第二步；
第五步：輸出最大公約數b.

以上就是秦九韶的完整程式碼。

高斯消元法

高斯消元法，是線性代數中的一個演算法，可用來求解線性方程組，並可以求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。
高斯消元法的原理是：
若用初等行變換將增廣矩陣 化為 ，則AX = B與CX = D是同解方程組。
所以我們可以用初等行變換把增廣矩陣轉換為行階梯陣，然後回代求出方程的解。

以上是線性代數課的回顧，下面來說說高斯消元法在程式設計中的應用。

首先，先介紹程式中高斯消元法的步驟：
(我們設方程組中方程的個數為equ，變元的個數為var，注意：一般情況下是n個方程，n個變元，但是有些題目就故意讓方程數與變元數不同)

1. 把方程組轉換成增廣矩陣。

2. 利用初等行變換來把增廣矩陣轉換成行階梯陣。
列舉k從0到equ – 1，當前處理的列為col(初始為0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素絕對值最大的列與第k行交換。如果col列中的元素全為0，那麼則處理col + 1列，k不變。

3. 轉換為行階梯陣，判斷解的情況。

① 無解
當方程中出現(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0時，說明是無解的。

② 唯一解
條件是k = equ，即行階梯陣形成了嚴格的上三角陣。利用回代逐一求出解集。

③ 無窮解。
條件是k < equ，即不能形成嚴格的上三角形，自由變元的個數即為equ – k，但有些題目要求判斷哪些變元是不缺定的。
    這裡單獨介紹下這種解法：
首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個。我們先把所有的變元視為不確定的。在每個方程中判斷不確定變元的個數，如果大於1個，則該方程無法求解。如果只有1個變元，那麼該變元即可求出，即為確定變元。

以上介紹的是求解整數線性方程組的求法，複雜度是O(n3)。浮點數線性方程組的求法類似，但是要在判斷是否為0時，加入EPS，以消除精度問題。