堆排序是一種樹形選擇排序方法，它的特點是：在排序的過程中，將array[0，...，n-1]看成是一顆完全二叉樹的順序儲存結構，利用完全二叉樹中雙親節點和孩子結點之間的內在關係，在當前無序區中選擇關鍵字最大（最小）的元素。

1. 若array[0，...，n-1]表示一顆完全二叉樹的順序儲存模式，則雙親節點指標和孩子結點指標之間的內在關係如下：

　　任意一節點指標 i：父節點：i==0 ? null : (i-1)/2

　　　　　　　　　　  左孩子：2*i + 1

　　　　　　　　　　  右孩子：2*i + 2

2. 堆的定義：n個關鍵字序列array[0，...，n-1]，當且僅當滿足下列要求：(0 <= i <= (n-1)/2)

　　　　　　① array[i] <= array[2*i + 1] 且 array[i] <= array[2*i + 2]； 稱為小根堆；

　　　　　　② array[i] >= array[2*i + 1] 且 array[i] >= array[2*i + 2]； 稱為大根堆；

3. 建立大根堆：

　　n個節點的完全二叉樹array[0，...，n-1]，最後一個節點n-1是第(n-1-1)/2個節點的孩子。對第(n-1-1)/2個節點為根的子樹調整，使該子樹稱為堆。

　　對於大根堆，調整方法為：若【根節點的關鍵字】小於【左右子女中關鍵字較大者】，則交換。

　　之後向前依次對各節點（(n-2)/2 - 1）~ 0為根的子樹進行調整，看該節點值是否大於其左右子節點的值，若不是，將左右子節點中較大值與之交換，交換後可能會破壞下一級堆，於是繼續採用上述方法構建下一級的堆，直到以該節點為根的子樹構成堆為止。

　　反覆利用上述調整堆的方法建堆，直到根節點。

4.堆排序：（大根堆）

　　①將存放在array[0，...，n-1]中的n個元素建成初始堆；

　　②將堆頂元素與堆底元素進行交換，則序列的最大值即已放到正確的位置；

　　③但此時堆被破壞，將堆頂元素向下調整使其繼續保持大根堆的性質，再重複第②③步，直到堆中僅剩下一個元素為止。

堆排序演算法的效能分析：

　　空間複雜度:o(1)；

　　時間複雜度:建堆：o(n)，每次調整o(log n)，故最好、最壞、平均情況下：o(n*logn);

　　穩定性：不穩定

建立大根堆的方法：

 1     //構建大根堆：將array看成完全二叉樹的順序儲存結構
 2     private int[] buildMaxHeap(int[] array){
 3         //從最後一個節點array.length-1的父節點（array.length-1-1）/2開始，直到根節點0，反覆調整堆
 4         for(int i=(array.length-2)/2;i>=0;i--){ 
 5             adjustDownToUp(array, i,array.length);
 6         }
 7         return array;
 8     }
 9     
10     //將元素array[k]自下往上逐步調整樹形結構
11     private void adjustDownToUp(int[] array,int k,int length){
12         int temp = array[k];   
13         for(int i=2*k+1; i<length-1; i=2*i+1){    //i為初始化為節點k的左孩子，沿節點較大的子節點向下調整
14             if(i<length && array[i]<array[i+1]){  //取節點較大的子節點的下標
15                 i++;   //如果節點的右孩子>左孩子，則取右孩子節點的下標
16             }
17             if(temp>=array[i]){  //根節點 >=左右子女中關鍵字較大者，調整結束
18                 break;
19             }else{   //根節點 <左右子女中關鍵字較大者
20                 array[k] = array[i];  //將左右子結點中較大值array[i]調整到雙親節點上
21                 k = i; //【關鍵】修改k值，以便繼續向下調整
22             }
23         }
24         array[k] = temp;  //被調整的結點的值放人最終位置
25     }    

堆排序：

 1     //堆排序
 2     public int[] heapSort(int[] array){
 3         array = buildMaxHeap(array); //初始建堆，array[0]為第一趟值最大的元素
 4         for(int i=array.length-1;i>1;i--){  
 5             int temp = array[0];  //將堆頂元素和堆低元素交換，即得到當前最大元素正確的排序位置
 6             array[0] = array[i];
 7             array[i] = temp;
 8             adjustDownToUp(array, 0,i);  //整理，將剩餘的元素整理成堆
 9         }
10         return array;
11     }

刪除堆頂元素（即序列中的最大值）：先將堆的最後一個元素與堆頂元素交換，由於此時堆的性質被破壞，需對此時的根節點進行向下調整操作。

1     //刪除堆頂元素操作
2     public int[] deleteMax(int[] array){
3         //將堆的最後一個元素與堆頂元素交換，堆底元素值設為-99999
4         array[0] = array[array.length-1];
5         array[array.length-1] = -99999;
6         //對此時的根節點進行向下調整
7         adjustDownToUp(array, 0, array.length);
8         return array;
9     }

對堆的插入操作：先將新節點放在堆的末端，再對這個新節點執行向上調整操作。

假設陣列的最後一個元素array[array.length-1]為空，新插入的結點初始時放置在此處。

 1     //插入操作:向大根堆array中插入資料data
 2     public int[] insertData(int[] array, int data){
 3         array[array.length-1] = data; //將新節點放在堆的末端
 4         int k = array.length-1;  //需要調整的節點
 5         int parent = (k-1)/2;    //雙親節點
 6         while(parent >=0 && data>array[parent]){
 7             array[k] = array[parent];  //雙親節點下調
 8             k = parent;
 9             if(parent != 0){
10                 parent = (parent-1)/2;  //繼續向上比較
11             }else{  //根節點已調整完畢，跳出迴圈
12                 break;
13             }
14         }
15         array[k] = data;  //將插入的結點放到正確的位置
16         return array;
17     }

測試：

 1     public void toString(int[] array){
 2         for(int i:array){
 3             System.out.print(i+" ");
 4         }
 5     }
 6     
 7     public static void main(String args[]){
 8         HeapSort hs = new HeapSort();
 9         int[] array = {87,45,78,32,17,65,53,9,122};
10         System.out.print("構建大根堆：");
11         hs.toString(hs.buildMaxHeap(array));
12         System.out.print("\n"+"刪除堆頂元素：");
13         hs.toString(hs.deleteMax(array));
14         System.out.print("\n"+"插入元素63:");
15         hs.toString(hs.insertData(array, 63));
16         System.out.print("\n"+"大根堆排序：");
17         hs.toString(hs.heapSort(array));    
18     }

1 構建大根堆：122 87 78 45 17 65 53 9 32 
2 刪除堆頂元素：87 45 78 32 17 65 53 9 -99999 
3 插入元素63:87 63 78 45 17 65 53 9 32 
4 大根堆排序：9 17 32 45 53 63 65 78 87