在計算機中，資料都以二進位制補碼的形式儲存，根據這一特點，適當採用位運算(bitwise operation)可以很巧妙地解決問題，同時運算效率更高。時刻牢記，最大的負數是-1，在計算機中，它的儲存形式是全1。

位運算子

• 左移<< 和 右移>>

   左移相當於乘以2，友誼相當於除以2.在計算機中，位運算比乘法、除法運算要快得多，所以適當採用移位運算取代乘除運算，能夠提高運算效率。右移時要注意符號位的擴充套件。

• 按位與&

   &運算的特點是可以將某些位置為0。
   &運算也可用於提取某些特定的位。做法是定義一個mask，mask中對應要提取的位置為1，而其它位為0，將整數與mask做&運算，就可以提取出整數中相應的位。

• 按位或|

   |運算的特點是，可以將指定的位元置為1。

• 按位異或^

   以下運算的規律在解決問題時可能是會經常用到的。
   x^x=0
  bit^1=~bit x^(-1)=~x
  bit^0=bit x^0=x

• 按位取反~

   ~運算的特點是將0和1點到。以下規律值得牢記，此規律對正整數或負整數都成立。
   -x=~x+1

一些小技巧

   位運算結合在一起，惡意巧妙地解決很多問題，下面就是一些bitwise trick。

• 交換兩個int

void swap(int &x, int &y)
{
    x = x
 
^y;
    y = x^y;    //(x^y)^y = x^(y^y) = x^0 = x;
    x = x^y;    //(x^y)^x = (x^x)^y = 0^y = y;
}

   最早以前，我所知道的交換方法是下面這樣的

void swap(int &x,int &y)
{
    x = x+y;
    y = x-y;
    x = x-y;
}

   這樣在大多數情況下也是可以的，但是不及位運算。首先，撇開運算速度不說，通過加減交換最大的隱患在於，如果x和y的值都很大，那麼在計算x+y的時候，可能發生溢位，這在位運算中是絕對不會出現的。

• 判斷一個數是不是2的冪

void PowerOf2(int x)
{
    if (x == 0)
        return false;
    return x&(x-1) == 0;
}

   x&(x-1)的作用是，使得x最右邊的1變為0，x是2的冪，意味著x中只有一個1，所以經過這一運算後，x&(x-1)等於0。

   還有一個特點需要注意的是，如果x是2的冪，那麼x-1的形式是，左邊全為0，右邊全為1。

   另一個解為return x&(-x) ==x;，但是具體怎麼解，我還不明所以。

   x&(x-1)的作用不容小覷，我們可以用它來計算整數中1的個數，並藉此來對整數做奇偶校驗。

• 計算整數中1的個數

int CountOf1(int x)
{
    int count=0;
    while(x)
    {
        count ++;
        x = x&(x-1);    //將x最低位的1置為0
    }
    return count;
}

• 計算m和n中不同的位的個數

int diffmn(int m,int n)
{
    int count=0;
    int x = m^n;    //x中為1的位元代表了m和n中不同的位
    while(x)
    {
        count ++;
        x = x&(x-1);
    }
    return count;
}

• 整數加1和整數減1

int plus1(int x)
{
    return -~x;    //x+1 = ~(~x)+1 = -(~x)
}

int minus1(int x)
{
    return ~-x;    //x = -(-x) = ~(-x)+1
}

   注意：通過上述方法計算整數的加1或減1，比直接計算是要慢的。不過，這兩個例子充分說明了位運算可以做的事情是很多的。

   老實說，這兩個結果應該不是那麼容易記清的吧，起碼對我來說是這樣的，牢記-x=~x+1，並記住大概的形式，應該就能夠通過簡單的變換很快得出正確的結果的吧。

• 整數反號

void revsign(int x)
{
    return ~x+1;    //-x = ~x+1
}

或

void revsign(int x)
{
    return (x^(-1))+1;    //(x^(-1))+1 = ~x+1 = -x
}

   顯然，第二種方法是不如第一種方法的，還是那句話，通過推導，好好體會一下位運算的神奇效果吧。

• 判斷一個數是否是奇數

bool isodd(int x)
{
    return x&1
}

   偶數的判斷當然也很簡單了！

• 計算32位整數的絕對值

int abs(int x)
{
    return (x&(x>>31))-(x>>31);
}

   首先需要注意的是右移時會擴充套件符號位。如果x是正數，那麼x>>31=0，毫無疑問，return語句中的表示式結果就是x；如果x是負數，那麼x>>31的結果就是全1，也就是我們必須牢記的-1，於是

 (x^(x>>31)) - (x>>31)
=(x^(-1)) - (-1)
=~x + 1
=-x

   所以，(x^(x>>31))-(x>>31)就是我們要求的x的絕對值。

• 求a和b的最大值

int max(int a,int b)
{
    int maxab = b&((a-b)>>31) | a&(~(a-b)>>31);
    return maxab;
}

   對於unsigned int，右移31位是一個很特別的操作，其作用是將所有的位都置為符號位的值，也就是說，正數移位後變為0，負數移位後變為-1。所以，如果a<b，那麼(a-b)>>31結果就是-1，而~(a-b)>>31結果就是0，最終maxab = b；反過來，如果a>b，那麼(a-b)>>31結果是0，而~(a-b)>>31結果是-1，最終maxab = a。

   需要注意的是，此處假定在32位機器上進行操作，因此移位的位數是31，為了保證表示式的通用性，可以通過sizeof(int)*8 - 1來確定移位的位數。

   下面是另外一種解法，成立的條件是true=1,false=0。

int max(int a,int b)
{
    int maxab = a^((a^b)&(-(a<b)));
    return maxab;
}

   如果a<b，那麼-(a<b)就是-1，於是maxab = a^(a^b) = b；如果a>b，那麼-(a<b)就是0，於是maxab = a。

   可以看到，兩種解法的核心都是將a、b的關係通過-1或0來間接表示，並利用表示結果作進一步的運算。

• 求a和b的最小值

int min(int a,int b)
{
    int minab = a&((a-b)>>31) |b&(~(a-b)>>31);
    return minab;
}

   同樣的，只要滿足true=1,false=0，也同樣可以採用第二種方法來求最小值。

int min(int a)
{
    int minab = b^((a^b)&(-(a<b)));
    return minab;
}

   推導過程與注意事項同求最大值的解法是基本相同的，在此不做贅述。

• 計算兩個數的平均值

int mean(int x,int y)
{
    return (x&y)+((x^y)>>1);
}

   我們知道，計算兩個數的平均值，最直接的想法就是(x+y)/2，表示式就是通過位運算實現了這一想法。表示式的核心思想是，將x+y分解成兩部分，一部分是x和y相同的位，一部分是x和y不同的位，前者通過&運算完成相加(由於沒有進位，所以無需除以2)，後者通過^運算完成相加，然後除以2得出平均值，最後，將兩部分相加，就是所求的結果了。

   同樣的，通過位運算，可以成功規避相加溢位的問題。

   在此，我們瞥見了位運算的一抹影子，你當然可以在其他很多地方領略到更多神奇之處，比如在演演算法筆記中。