重復的子字符串

給定一個非空的字符串，判斷它是否可以由它的一個子串重復多次構成。給定的字符串只含有小寫英文字母，並且長度不超過10000。

示例 1:

輸入: "abab"

輸出: True

解釋: 可由子字符串 "ab" 重復兩次構成。

示例 2:

輸入: "aba"

輸出: False

示例 3:

輸入: "abcabcabcabc"

輸出: True

解釋: 可由子字符串 "abc" 重復四次構成。 (或者子字符串 "abcabc" 重復兩次構成。)

復習一下KMP算法

KMP的主要思想是利用字符串自身的前綴後綴的對稱性，來構建next數組，從而實現用接近O(N)的時間復雜度完成字符串的匹配

對於一個字符串str，next[j] = k 表示滿足str[0...k-1] = str[j-k...j-1]的最大的k，即對於子串str[0...j-1]，前k個字母等於後k個字母

現在求解str的next數組：

初始化：next[0] = -1

那麽在知道了next[j]的情況下，如何遞推地求出next[j+1]呢？分兩種情況（令k=next[j]）：

　　1、如果str[j]==str[k]，則next[j+1] = k+1

　　如下圖所示，對於str[0...j-1]，前k個字母等於後k個字母（兩個綠色部分相等），然後str[k]剛好是前k個字母的下一個字母（第一個紅色）

　　如果str[j]==str[k]，說明對於str[0...j]，前k+1個字母等於後k+1個字母（綠色+紅色=綠色+紅色），即等於next[j]+1（綠色長度為k，紅色長度為1）

　　2、如果str[j]!=str[k]，則k=next[k]，然後繼續循環（回到1），直到k=-1

　　因為str[j]!=str[k]（下圖中紫色和紅色不相等），所以前k+1個字母不再等於後k+1個字母了

　　但是由於前k個字母還是等於後k個字母（圖中兩個黑色虛線框住部分），所以對於任意的k‘<k，str[k-k‘...k-1]=str[j-k‘...j-1]（圖中第二個和最後一個綠色相等）

　　而next[k]表示str[0...k-1]內部的對稱情況，所以令k‘=next[k]，則對於str[0...k-1]，前k‘個字母等於後k‘個字母（圖中第一個和第二個綠色相等）

　　由於圖中第二個綠色始終=第四個綠色，所以第一個綠色等於第四個綠色

　　因此將k=next[l]繼續帶入循環，回到判斷1：

　　　　如果str[k‘]=str[j]，則滿足前k‘+1個字母等於後k‘+1個字母（兩個淺黃色區域相等），所以next[j+1] = k‘+1；

　　　　否則，繼續k‘=next[k‘]繼續循環，直到k‘=-1說明已經到達第一個元素，不能繼續劃分，next[j+1]=0

得到了求next數組的遞推方法後，現在用C++實現

 1 void getNext(string str,int next[]){
 2     int len=str.length();
 3     next[0]=-1;
 4     int j=0,k=-1;
 5     while(j<len-1){
 6         if(k==-1||str[j]==str[k])
 7             next[++j]=++k;
 8         else
 9             k=next[k];
10     }
11 }

這裏解釋一下：由於每一輪賦值完next[j]後，k要不然是-1，要不然是next[j]（上次匹配的前綴的下一個位置）

如果k=-1，說明next[j+1]=0=k+1；否則如果str[j]==str[k]，說明前k+1個字母等於後k+1個字母，直接next[j+1]=k+1

所以循環中if後的語句為"next[++j] = ++k;"

思路

假設str長度為len，重復的子串長度為k，則如果真的由連續多個長度為k的子串重復構成str，那麽在對str求next時，由於連續對稱性（如圖，前後兩個虛線框內字符串相等），會從next[k+1]開始，1,2,3...地遞增，直到next[len]=len-k，且(len-k)%k==0，表示有整數個k

要一直求到next[len]而不是next[len-1]，是因為next[len-1]只是表示前len-1個字母的內部對稱性，而沒有考慮到最後一個字母即str[len-1]

所以求解很簡單：先對str求next數組，一直求到next[len]，然後看看next[len]是否非零且整除k（k=len-next[len]）

 1 class Solution {
 2     public boolean repeatedSubstringPattern(String s) {
 3         int len=s.length();
 4         int[] next=new int[len+1];
 5         next[0]=-1;
 6         int j=0,k=-1;
 7         while(j<len){
 8             if(k==-1||s.charAt(j)==s.charAt(k)){
 9                 next[++j]=++k;
10             }else{
11                 k=next[k];
12             }
13         }
14         return (next[len]>0)&&next[len]%(len-next[len])==0;
15     }
16 }

Leetcode 459.重復的子字符串