引導圖濾波器是一種自適應權重濾波器，能夠在平滑影象的同時起到保持邊界的作用，具體公式推導請查閱原文獻《Guided Image Filtering》以及matlab原始碼：http://kaiminghe.com/eccv10/index.html。這裡只說一下自適應權重原理、C++實現灰度影象以及彩色影象的引導圖濾波、驗證結果。

• 自適應權重原理
  
   引導圖濾波作為一種線性濾波器，可以簡單定義為如下形式：
  

  其中I是引導影象(guided Image)，P是輸入的待濾波影象，Q是濾波後的輸出影象，W是根據引導圖I確定的權重值。權重值W可以用下式表示（原文獻有詳細推導）：
  
          μk是視窗內畫素點的均值，Ii

  和Ij指相鄰兩個畫素點的值，σk代表視窗內畫素點的方差，ε是一個懲罰值。自適應權重可以根據上式分析得到：Ii和Ij在邊界兩側時，(Ii-μk)和(Ij-μk)異號，否則，則同號。而異號時的權重值將遠遠小於同號時的權重值，這樣處於平坦區域的畫素則會被加以較大的權重，平滑效果效果更明顯，而處於邊界兩側的畫素則會被加以較小的權重，平滑效果較弱，能夠起到保持邊界的效果。
        懲罰值ε對濾波效果影響也很大，當ε值很小時，濾波如前面所述；當ε值很大時，權重的計算公式將近似為一個均值濾波器，平滑效果會更明顯。
       
  
  同樣也可以根據線性濾波公式來看引導圖濾波的自適應權重原理，區域性線性濾波模型公式如下：
  
  
  

        I指引導影象，Q是輸出影象，ak和bk兩個係數根據引導圖I和輸入影象P共同決定。將上式兩邊求梯度，可以得到▽q=a*▽I，即輸出影象的梯度資訊完全由引導影象的梯度資訊決定，當引導圖中有邊界時，輸出影象中對應位置也會有邊界。而a和b的值將會決定梯度資訊和平滑資訊的權重大小。
        通過觀察a和b的公式，a的分子為I和P的協方差，分母部分為I的方差加上截斷值ε；b的值為P的均值減去a乘以I的均值。可以看出當a值很小時，b約等於視窗內畫素點的均值pk，近似於均值濾波；而當a值很大時，輸出則主要取決於a*▽I的大小，梯度資訊能夠得到保留。
  
  

• C++實現灰度影象以及彩色影象的引導圖濾波
  
  根據原文獻中提供的虛擬碼，不難用C++實現引導圖濾波演算法。虛擬碼如下：
  
  
  
  這裡需要分兩種情況，1.引導圖為單通道的灰度圖；2.引導圖為三通道的彩色圖。
  

1. 引導圖為單通道
   分別算出I與P的均值影象，以及I²和I*P的均值影象；再求出I的方差影象，以及I*P的協方差影象；利用公式求出a和b的值；再視窗內對a和b求均值；再根據公式算出輸出影象。
   這裡又分為兩種情況：
   ①輸入圖為單通道：按照上述步驟計算即可。
   ②輸入圖為三通道：先分離三個通道，對每個通道進行上述濾波操作，然後合併通道即可。
2. 引導圖為三通道
   此時，將上述模型做了稍微修改，如下：
   
   不同之處在於求a時將原來的方差σ替換為協方差3x3矩陣∑k，表示如下:
   
   U是3x3單位矩陣，求出來的a將不再是一個值，而是一個1*3的向量，然後求b。a為1*3的向量，μk為3*1的向量，相乘後b為一常量，由此可以求得常量b的值。
   

   這裡又分為兩種情況：
   ①輸入圖為單通道：按照上述步驟計算即可。
   ②輸入圖為三通道：先分離三個通道，對每個通道進行上述濾波操作，然後合併通道即可。
   
   注：引導圖為彩色圖比引導圖為灰度圖，邊界保護更加明顯，見原文。

• 效果驗證

程式碼裡面求均值部分，可以由OpenCV中的boxFilter（）函式實現，或者blur（）函式實現。總之是一個均值濾波器，之所以與視窗大小無關，是因為使用直方圖實現的均值濾波，能夠大大降低運算時間。VS2015+OpenCV3.4.0實現的程式碼放在我的碼雲code上：ε，輸出引數為濾波後圖像Q。引導圖I和輸入影象P可以相同，也可以不同，比如stereo matching中常常用原參考影象作為引導圖，對代價空間圖進行引導圖濾波以實現代價聚合。這樣能儘量保留原影象邊界區域的匹配代價，而平滑平坦區域的匹配代價。
     (注：文獻中的程式碼是通過matlab編寫的，matlab中讀取影象時會自動將影象歸一化到0-1，因此截斷值ε的設定也對應小很多，比如0.1,0.01等。而本文中讀取影象後未進行歸一化操作，所以截斷值ε的設定會有不同。如果需要歸一化，則自行讀取影象後除以255即可）。

1. 單通道灰度圖原圖
   
   
   改變截斷值ε
     r=10, ε=0                            r=10,  ε=100            
       
   
   r=10 , ε=2000                          r=10, ε=8000    
    
   改變視窗半徑r
    r=0， ε=500                                   r=5， ε=500 
   

                          
      
               r=10, ε=500                              r=20, ε=500 
               

1. 三通道彩色圖
   原圖
   
   
   改變截斷值ε
     r=10, ε=0                            r=10,  ε=100                           
        
     
   r=10 , ε=2000                          r=10, ε=8000 
       
   
   
   改變視窗半徑r
   r=0, ε=500                             r=5, ε=500                            
           
   
   r=10, ε=500                              r=20, ε=500 
       
   

• 快速引導圖濾波演算法
  快速引導圖濾波演算法見文獻《fast guided filter》，上述主頁中也有。快速的地方主要是採用了影象金字塔思想。步驟如下：

1. 對引導影象I和輸入影象P進行1/s的降取樣，得到I', P'；
2. 利用I'和P'計算係數a和b，並計算輸出影象Q'；
3. 將Q'進行s倍的上取樣得到最終輸出影象Q。

       由於計算部分是降取樣的影象，運算量會大大減小，而不會引入明顯的失真，因此成為快速引導圖濾波。程式碼見上述碼雲code連結的fastGuidedFilter分支。