Description

有兩個人在博弈，總共有n+m+1張牌，每張牌上的數字各不相同且在[1,n+m+1]內。
先手有n張牌，後手有m張牌，有一張牌蓋在桌上。
每次操作者可以從兩種操作中選擇一種進行
1：猜桌上的牌是什麼，猜中就贏，猜錯就輸
2：指定一張牌，如果對手有這張牌就必須展示並棄掉
問先手贏和後手贏的概率
n,m<=1000

Solution

可以參考SAMfAKe的題解
注意這題的難點在於先手可以有欺騙操作，即指定自己有的牌
如果對手相信了那麼就輸了
那麼我們可以考慮設$f(n,m)$表示先手有n張牌，後手有m張牌，先手獲勝的概率
首先當n,m均>=1時我們是不會去猜的，這時的收益是嚴格劣的
先手有兩種選擇，我們稱為“指定”和“欺騙”，同時後手也有兩種心理，“相信”和“不信”
Ps：這裡的相信是指相信蓋著的牌是指出的那張
若先手選擇“指定”，後手選擇“相信”，那麼收益為$\frac{m}{}$

m+1(1−f(m−1,n))+1m+1∗0{m\over m+1}(1-f(m-1,n))+{1\over m+1}*0
若先手選擇“指定”，後手選擇“不信”，那麼收益為${m\over m+1}(1-f(m-1,n))+{1\over m+1}*1$
若先手選擇“欺騙”，後手選擇“相信”，那麼收益為1
若先手選擇“欺騙”，後手選擇“不信”，那麼收益為$1-f(m,n-1)$
現在設先手有p的概率選擇“指定”
若後手選擇“相信”，先手獲勝的概率為$\frac{m}{}$

m+1(1−f(m−1,n))p+(1−p){m\over m+1}(1-f(m-1,n))p+(1-p)
若後手選擇“不信”，先手獲勝的概率為$({m\over m+1}(1-f(m-1,n))+{1\over m+1})p+(1-f(m,n-1))(1-p)$
後手肯定是想讓先手獲勝的概率儘量小，所以對於先手的p，後手肯定會選擇上述兩個式子中值較小的那個執行，而先手又想讓自己的勝率儘量高
注意到將p看作變數，上面兩個式子代表了兩條直線，且一條斜率>0另一條<0
那麼先手肯定會選擇交點處的那個p，代表兩人博弈的一個均衡點

納什均衡真的挺有趣的說~

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef double db;

const int N=1e3+5;

int n,m;
db f[N][N];
bool vis[N][N];

db Dp(int n,int m) {
	if (!n) return 1.0/(m+1);
	if (!m) return 1;
	if (vis[n][m]) return f[n][m];
	vis[n][m]=1;
	db f1=Dp(m-1,n),f2=Dp(m,n-1);
	db k1=1.0*m/(m+1)*(1-f1)-1,k2=1.0*m/(m+1)*(1-f1)+1.0/(m+1)+f2-1;
	db b1=1,b2=1-f2;
	db x=(b2-b1)/(k1-k2);
	return f[n][m]=x*k1+b1;
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	db ans=Dp(n,m);
	printf("%.10lf %.10lf\n",ans,1-ans);
	return 0;
}